$ABCD$ es un rombo fijo. El segmento $PQ$ es tangente al círculo inscrito de $ABCD$, donde $P$ está en el lado $AB$ y $Q$ está en el lado $AD$. Demuestra que, cuando el segmento $PQ$ se mueve, el área de $\Delta CPQ$ es constante.

Hay $n \ge 3$ números reales positivos distintos. Demuestra que hay como máximo $n-2$ potencias enteras diferentes de tres que se pueden escribir como la suma de tres elementos distintos de estos $n$ números.

Un país con $n$ ciudades tiene algunas carreteras de dos sentidos que conectan ciertos pares de ciudades. Alguien nota que si el país se divide en dos partes de cualquier manera, entonces habría a lo sumo $kn$ carreteras entre las dos partes (donde $k$ es un entero positivo fijo). ¿Cuál es el entero $m$ más grande (en términos de $n$ y $k$ ) tal que se garantiza que hay un conjunto de $m$ ciudades, de las cuales no hay dos que estén directamente conectadas por una carretera?

Sea $f(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros tal que $f(1) \neq 1$ . Para un entero positivo $n$ , defina $\text{divs}(n)$ como el conjunto de divisores positivos de $n$ . Un entero positivo $m$ es $f$ - genial si existe un entero positivo $n$ para el cual $$f[\text{divs}(m)]=\text{divs}(n).$$ Demuestre que para cualquier $f$ , hay finitamente muchos enteros $f$ - geniales. (La notación $f[S]$ para algún conjunto $S$ denota el conjunto $\{f(s):s \in S\}$ . )

Un triángulo acutángulo es un triángulo que tiene todos los ángulos menores a $90^{\circ}$ ( $90^{\circ}$ es un ángulo recto). Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD$ , $BE$ y $CF$ que se intersectan en $H$ . El círculo que pasa por los puntos $D$ , $E$ y $F$ se encuentra con $AD$ , $BE$ y $CF$ nuevamente en $X$ , $Y$ y $Z$ respectivamente. Demuestre la siguiente desigualdad: $$\frac{AH}{DX}+\frac{BH}{EY}+\frac{CH}{FZ} \geq 3.$$

Hay 20 estudiantes en una clase de preparatoria, y cada estudiante tiene exactamente tres amigos cercanos en la clase. Cinco de los estudiantes han comprado boletos para un próximo concierto. Si algún estudiante ve que al menos dos de sus amigos cercanos han comprado boletos, entonces ellos también comprarán un boleto. ¿Es posible que toda la clase compre boletos para el concierto? (Asuma que la amistad es mutua; si el estudiante $A$ es amigo cercano del estudiante $B$, entonces $B$ es amigo cercano de $A$.)

William está pensando en un entero entre 1 y 50, inclusive. Victor puede elegir un entero positivo $m$ y preguntarle a William: '¿$m$ divide tu número?', a lo cual William debe responder verazmente. Victor continúa haciendo estas preguntas hasta que determina el número de William. ¿Cuál es el número mínimo de preguntas que Victor necesita para garantizar esto?

Sean $ x$, $ y$ , y $ z$ números reales no negativos que satisfacen $ x + y + z = 1$. Demuestra que \[ x^2 y + y^2 z + z^2 x \leq \frac {4}{27} \] y encuentra cuándo ocurre la igualdad.

Supongamos que $a_1,a_2,\cdots,a_8$ son ocho enteros distintos de $\{1,2,\cdots,16,17\}$. Demuestra que existe un entero $k > 0$ tal que la ecuación $a_i - a_j = k$ tiene al menos tres soluciones diferentes. Además, encuentra un conjunto específico de 7 enteros distintos de $\{1,2,\ldots,16,17\}$ tal que la ecuación $a_i - a_j = k$ no tiene tres soluciones distintas para ningún $k > 0$.

Determina todos los enteros positivos $n$ con la propiedad de que $n = (d(n))^2$. Aquí $d(n)$ denota el número de divisores positivos de $n$.