Sea $ABC$ un triángulo equilátero de altura 1. Un círculo con radio 1 y centro en el mismo lado de $AB$ que $C$ rueda a lo largo del segmento $AB$. Demuestra que el arco del círculo que está dentro del triángulo siempre tiene la misma longitud.

Encuentra todas las soluciones reales a la ecuación $4x^2 - 40 \lfloor x \rfloor + 51 = 0$.

Un paralelepípedo tiene la propiedad de que todas las secciones transversales, que son paralelas a cualquier cara fija $F$, tienen el mismo perímetro que $F$. Determine si algún otro poliedro tiene esta propiedad o no.

Una estudiante que juega tira una moneda justa. Ella gana $1$ punto por cada cara que aparece, y gana $2$ puntos por cada cruz que aparece. Demuestre que la probabilidad de que la estudiante obtenga exactamente $n$ puntos es $\frac{1}{3}\cdot\left(2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right)$.

Entre todos los triángulos que tienen (i) un ángulo fijo $A$ y (ii) un círculo inscrito de radio fijo $r$, determine qué triángulo tiene el perímetro mínimo más pequeño.

Los números del $1$ al $50$ están impresos en tarjetas. Las tarjetas se barajan y luego se colocan boca arriba en $5$ filas de $10$ tarjetas cada una. Las tarjetas de cada fila se reorganizan para que aumenten de izquierda a derecha. Las tarjetas de cada columna se reorganizan para que aumenten de arriba a abajo. En la disposición final, ¿las tarjetas de las filas siguen aumentando de izquierda a derecha?

Si $a679b$ es la expansión decimal de un número en base $10$, tal que es divisible por $72$, determine $a,b$.

Determine todos los pares $(n,m)$ de enteros positivos para los cuales existe una secuencia infinita $\{x_k\}$ de $0$ ' s y $1$ ' s con las propiedades de que si $x_i=0$ entonces $x_{i+m}=1$ y si $x_i = 1$ entonces $x_{i+n} = 0.$

Mil estudiantes participan en el Desafío Canadiense de Matemáticas Cerrado de $2011$. A cada estudiante se le asigna un número de identificación único de tres dígitos $abc,$ donde cada uno de $a, b$ y $c$ es un dígito entre $0$ y $9,$ inclusive. Más tarde, cuando se marquen los concursos, se contratará a varios marcadores. A cada uno de los marcadores se le dará un número de identificación único de dos dígitos $xy,$ con cada uno de $x$ e $y$ un dígito entre $0$ y $9,$ inclusive. El marcador $xy$ podrá marcar cualquier concurso con un número de identificación de la forma $xyA$ o $xAy$ o $Axy,$ para cualquier dígito $A.$ ¿Cuál es el número mínimo posible de marcadores que se contratarán para garantizar que todos los concursos sean marcados?

En el diagrama, $ABDF$ es un trapecio con $AF$ paralelo a $BD$ y $AB$ perpendicular a $BD.$ El círculo con centro $B$ y radio $AB$ se encuentra con $BD$ en $C$ y es tangente a $DF$ en $E.$ Suponga que $x$ es igual al área de la región dentro del cuadrilátero $ABEF$ pero fuera del círculo, que y es igual al área de la región dentro de $\triangle EBD$ pero fuera del círculo, y que $\alpha = \angle EBC.$ Demuestre que hay exactamente una medida $\alpha,$ con $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ,$ para la cual $x = y$ y que este valor de $\frac 12 < \sin \alpha < \frac{1}{\sqrt 2}.$ [asy]\nimport graph; size(150); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen qqttff = rgb(0,0.2,1); pen fftttt = rgb(1,0.2,0.2);\ndraw(circle((6.04,2.8),1.78),qqttff); draw((6.02,4.58)--(6.04,2.8),fftttt); draw((6.02,4.58)--(6.98,4.56),fftttt); draw((6.04,2.8)--(8.13,2.88),fftttt); draw((6.98,4.56)--(8.13,2.88),fftttt);\ndot((6.04,2.8),ds); label('$B$', (5.74,2.46), NE*lsf); dot((6.02,4.58),ds); label('$A$', (5.88,4.7), NE*lsf); dot((6.98,4.56),ds); label('$F$', (7.06,4.6), NE*lsf); dot((7.39,3.96),ds); label('$E$', (7.6,3.88), NE*lsf); dot((8.13,2.88),ds); label('$D$', (8.34,2.56), NE*lsf); dot((7.82,2.86),ds); label('$C$', (7.5,2.46), NE*lsf); clip((-4.3,-10.94)--(-4.3,6.3)--(16.18,6.3)--(16.18,-10.94)--cycle);\n[/asy]