Cada vértice de un $11$ - gono regular se colorea de negro o dorado. Todos los triángulos posibles se forman usando estos vértices. Demuestre que hay dos triángulos congruentes con tres vértices negros o dos triángulos congruentes con tres vértices dorados.

Alphonse y Beryl juegan un juego comenzando con una pizarra en blanco. Alphonse va primero y los dos jugadores alternan turnos. En el primer turno de Alphonse, él escribe el entero $10^{2011}$ en la pizarra. En cada turno subsiguiente, cada jugador puede hacer exactamente una de las siguientes dos cosas: (i) reemplazar cualquier número $x$ que esté actualmente en la pizarra con dos enteros a y b mayores que $1$ tal que $x = ab,$ o (ii) borrar una o dos copias de un número $y$ que aparece al menos dos veces en la pizarra. Por lo tanto, puede haber muchos números en la pizarra en cualquier momento. El primer jugador que no puede hacer ninguna de estas cosas pierde. Determine qué jugador tiene una estrategia ganadora y explique la estrategia.

Determine todas las soluciones al sistema de ecuaciones: \[x^2 + y^2 + x + y = 12\] \[xy + x + y = 3\] [Esta es la forma exacta del problema que apareció en el papel, pero creo que significa resolver en $\mathbb R.$ ]

Brennan elige un conjunto $A = \{a, b,c, d, e \}$ de cinco números reales con $a \leq b \leq c \leq d \leq e.$ Delaney determina los subconjuntos de $A$ que contienen tres números y suma los números en estos subconjuntos. Ella obtiene las sumas $0, 3; 4, 8; 9, 10, 11, 12, 14, 19.$ ¿Cuáles son los cinco números en el conjunto de Brennan?

En el diagrama, el círculo tiene radio $\sqrt 7$ y centro $O.$ Los puntos $A, B$ y $C$ están en el círculo. Si $\angle BOC=120^\circ$ y $AC = AB + 1,$ determine la longitud de $AB.$ [asy]\nimport graph; size(120); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen qqttff = rgb(0,0.2,1); pen xdxdff = rgb(0.49,0.49,1); pen fftttt = rgb(1,0.2,0.2);\ndraw(circle((2.34,2.4),2.01),qqttff); draw((2.34,2.4)--(1.09,0.82),fftttt); draw((2.34,2.4)--(4.1,1.41),fftttt); draw((1.09,0.82)--(1.4,4.18),fftttt); draw((4.1,1.41)--(1.4,4.18),fftttt);\ndot((2.34,2.4),ds); label('$O$', (2.1,2.66),NE*lsf); dot((1.09,0.82),ds); label('$B$', (0.86,0.46),NE*lsf); dot((4.1,1.41),ds); label('$C$', (4.2,1.08),NE*lsf); dot((1.4,4.18),ds); label('$A$', (1.22,4.48),NE*lsf); clip((-4.34,-10.94)--(-4.34,6.3)--(16.14,6.3)--(16.14,-10.94)--cycle);\n[/asy]

Se dice que un cuadrilátero convexo $ABCD$ es divisible si para cada punto interno $P$ , el área de $\triangle PAB$ más el área de $\triangle PCD$ es igual al área de $\triangle PBC$ más el área de $\triangle PDA$ . Caracterice todos los cuadriláteros que son divisibles.

Dado un conjunto $S_n = \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ , definimos una lista de preferencias como un subconjunto ordenado de $S_n$ . Sea $P_n$ el número de listas de preferencias de $S_n$ . Demuestre que para enteros positivos $n > m$ , $P_n - P_m$ es divisible por $n - m$ . Nota: el conjunto vacío y $S_n$ son subconjuntos de $S_n$ .

Sea $N$ un entero positivo. Hay $N$ tareas, numeradas $1, 2, 3, \ldots, N$ , para ser completadas. Cada tarea toma un minuto para completarse y las tareas deben completarse sujetas a las siguientes condiciones: Se puede realizar cualquier número de tareas al mismo tiempo. Para cualquier entero positivo $k$ , la tarea $k$ comienza inmediatamente después de que todas las tareas cuyos números son divisores de $k$ , sin incluir $k$ mismo, se completen. La tarea 1 es la primera tarea en comenzar, y comienza por sí sola. Suponga que $N = 2017$ . ¿Cuántos minutos se tarda en completar todas las tareas? ¿Cuáles tareas son las últimas en completarse?

Demuestre que para todos los números reales $x, y$ , $$(x^2 + 1)(y^2 + 1) + 4(x - 1)(y - 1) \geq 0.$$ Determine cuándo se cumple la igualdad.

En esta pregunta, redefinimos las operaciones de suma y multiplicación de la siguiente manera: $a + b$ se define como el mínimo de $a$ y $b$ , mientras que $a * b$ se define como la suma de $a$ y $b$ . Por ejemplo, $3+4 = 3$ , $3*4 = 7$ , y $$3*4^2+5*4+7 = \min(\text{3 plus 4 plus 4}, \text{5 plus 4}, 7) = \min(11, 9, 7) = 7.$$ Sea $a, b, c$ números reales. Caracterice, en términos de $a, b, c$ , cómo se ve la gráfica de $y = ax^2+bx+c$.