Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente ecuación para todo $x, y \in \mathbb{R}$ . $$(x+y)f(x-y) = f(x^2-y^2).$$

Para cualquier entero positivo n, sea $\varphi(n)$ la cantidad de enteros en el conjunto $\{1, 2, \ldots , n\}$ cuyo máximo común divisor con $n$ es 1. Determine el valor máximo de $\frac{n}{\varphi(n)}$ para $n$ en el conjunto $\{2, \ldots, 1000\}$ y todos los valores de $n$ para los cuales se alcanza este máximo.

Malcolm escribe un entero positivo en un pedazo de papel. Malcolm duplica este entero y resta 1, escribiendo este segundo resultado en el mismo pedazo de papel. Luego, Malcolm duplica el segundo entero y suma 1, escribiendo este tercer entero en el papel. Si todos los números que Malcolm escribe son primos, determine todos los valores posibles para el primer entero.

Un triángulo acutángulo es un triángulo que tiene todos los ángulos menores que $90^{\circ}$ ( $90^{\circ}$ es un ángulo recto). Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD$ , $BE$ , y $CF$ que se encuentran en $H$ . El círculo que pasa por los puntos $D$ , $E$ , y $F$ se encuentra con $AD$ , $BE$ , y $CF$ nuevamente en $X$ , $Y$ , y $Z$ respectivamente. Demuestre la siguiente desigualdad: $$\frac{AH}{DX}+\frac{BH}{EY}+\frac{CH}{FZ} \geq 3.$$

Hay 20 estudiantes en una clase de escuela secundaria, y cada estudiante tiene exactamente tres amigos cercanos en la clase. Cinco de los estudiantes han comprado entradas para un próximo concierto. Si algún estudiante ve que al menos dos de sus amigos cercanos han comprado entradas, entonces ellos también comprarán una entrada. ¿Es posible que toda la clase compre entradas para el concierto? (Suponga que la amistad es mutua; si el estudiante $A$ es amigo cercano del estudiante $B$ , entonces $B$ es amigo cercano de $A$ .)

William está pensando en un entero entre 1 y 50, inclusive. Victor puede elegir un entero positivo $m$ y preguntarle a William: '¿$m$ divide tu número?', a lo que William debe responder con la verdad. Victor continúa haciendo estas preguntas hasta que determina el número de William. ¿Cuál es el número mínimo de preguntas que Victor necesita para garantizar esto?

Un triángulo acutángulo es un triángulo que tiene todos los ángulos menores que $90^{\circ}$ ( $90^{\circ}$ es un ángulo recto). Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ACB =90^{\circ}.$ Sea $CD$ la altura desde $C$ hasta $AB,$ y sea $E$ la intersección de la bisectriz del ángulo $\angle ACD$ con $AD.$ Sea $EF$ la altura desde $E$ hasta $BC.$ Demuestre que la circunferencia circunscrita de $BEF$ pasa por el punto medio de $CE.$

Sean $a$ y $b$ enteros no negativos. Considere una secuencia $s_1$ , $s_2$ , $s_3$ , $. . .$ tal que $s_1 = a$ , $s_2 = b$ , y $s_{i+1} = |s_i - s_{i-1}|$ para $i \ge 2$ . Demuestre que existe algún $i$ para el cual $s_i = 0$ .

Sea $u_1$, $u_2$, $u_3$, $\dots$ una secuencia de enteros que satisfacen la relación de recurrencia $u_{n + 2} = u_{n + 1}^2 - u_n$. Supón que $u_1 = 39$ y $u_2 = 45$. Demuestra que 1986 divide a infinitos términos de la secuencia.

Para todos los enteros positivos $n$ y $k$, define $F(n,k) = \sum_{r = 1}^n r^{2k - 1}$. Demuestra que $F(n,1)$ divide a $F(n,k)$.