Una cuerda $ST$ de longitud constante se desliza alrededor de un semicírculo con diámetro $AB$. $M$ es el punto medio de $ST$ y $P$ es el pie de la perpendicular desde $S$ a $AB$. Demuestra que $\angle SPM$ es constante para todas las posiciones de $ST$.

Un Mathlon es una competencia en la que hay $M$ eventos deportivos. Tal competencia se llevó a cabo en la que solo participaron $A$, $B$ y $C$. En cada evento se otorgaron $p_1$ puntos por el primer lugar, $p_2$ por el segundo y $p_3$ por el tercero, donde $p_1 > p_2 > p_3 > 0$ y $p_1$, $p_2$, $p_3$ son enteros. La puntuación final para $A$ fue 22, para $B$ fue 9 y para $C$ también fue 9. $B$ ganó los 100 metros. ¿Cuál es el valor de $M$ y quién quedó segundo en el salto de altura?

En el diagrama, los segmentos de línea $AB$ y $CD$ tienen una longitud de 1, mientras que los ángulos $ABC$ y $CBD$ son $90^\circ$ y $30^\circ$ respectivamente. Encuentra $AC$. \n[asy]\nimport geometry;\nimport graph;\n\nunitsize(1.5 cm);\n\npair A, B, C, D;\n\nB = (0,0);\nD = (3,0);\nA = 2*dir(120);\nC = extension(B,dir(30),A,D);\n\ndraw(A--B--D--cycle);\ndraw(B--C);\ndraw(arc(B,0.5,0,30));\n\nlabel('$A$', A, NW);\nlabel('$B$', B, SW);\nlabel('$C$', C, NE);\nlabel('$D$', D, SE);\nlabel('$30^\circ$', (0.8,0.2));\nlabel('$90^\circ$', (0.1,0.5));\n\nperpendicular(B,NE,C-B);\n[/asy]

Sea $ k$ un entero positivo. Encuentre todos los polinomios \[ P(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n,\] donde los $ a_i$ son reales, que satisfacen la ecuación \[ P(P(x)) = \{ P(x) \}^k\]

Una función $ f(x)$ es periódica si existe un número positivo $ p$ tal que $ f(x+p) = f(x)$ para toda $ x$ . Por ejemplo, $ \sin x$ es periódica con período $ 2 \pi$ . ¿Es la función $ \sin(x^2)$ periódica? Demuestre su afirmación.

(i) 15 sillas se colocan equitativamente alrededor de una mesa circular en la que hay tarjetas con nombres para 15 invitados. Los invitados no se dan cuenta de estas tarjetas hasta después de que se han sentado, y resulta que nadie está sentado en el asiento correcto. Demuestre que la mesa se puede girar de modo que al menos dos de los invitados estén sentados correctamente al mismo tiempo. (ii) Dé un ejemplo de una disposición en la que solo uno de los 15 invitados esté sentado correctamente y para la cual ninguna rotación coloque correctamente a más de una persona.

$ A,B,C,D$ son cuatro puntos 'consecutivos' en la circunferencia de un círculo y $ P, Q, R, S$ son puntos en la circunferencia que son respectivamente los puntos medios de los arcos $ AB,BC,CD,DA$ . Demuestre que $ PR$ es perpendicular a $ QS$ .

Para un número positivo como 3.27, 3 se conoce como la parte entera del número y .27 como la parte decimal. Encuentre un número positivo tal que su parte decimal, su parte entera y el número en sí formen una progresión geométrica.

Para cada número real $ r$ , $ [r]$ denota el entero más grande menor o igual a $ r$ , por ejemplo $ [6] = 6, [\pi] = 3, [-1.5] = -2$ . Indique en el plano $ (x,y)$ el conjunto de todos los puntos $ (x,y)$ para los cuales $ [x]^2 + [y]^2 = 4$.

Una secuencia de números $ a_1, a_2, a_3, ...$ satisface (i) $ a_1 = \frac{1}{2}$ (ii) $ a_1+a_2 + \cdots + a_n = n^2 a_n \ (n \geq 1)$ Determine el valor de $ a_n \ (n \geq 1)$ .