Simplificar $ \left(\frac {1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \cdots + n \cdot 2n \cdot 4n}{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \cdots + n \cdot 3n \cdot 9n}\right)^{\frac {1}{3}}$

Sea $\mathbb N = \{0,1,2,\ldots\}$ . Determine todas las funciones $f: \mathbb N \to \mathbb N$ tales que \[\nx f(y) + y f(x) = (x+y) f(x^2+y^2) \n\]\npara todos $x$ e $y$ en $\mathbb N$ .

Sea $\Gamma$ un círculo con radio $r$ . Sean $A$ y $B$ puntos distintos en $\Gamma$ tales que $AB < \sqrt{3}r$ . Sea el círculo con centro $B$ y radio $AB$ que se cruza con $\Gamma$ de nuevo en $C$ . Sea $P$ el punto dentro de $\Gamma$ tal que el triángulo $ABP$ sea equilátero. Finalmente, sea la línea $CP$ que se cruza con $\Gamma$ de nuevo en $Q$ . Demuestre que $PQ = r$ .

Demuestre que para todos los números reales positivos $a$ , $b$ , y $c$ , \[\n\frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab} \geq a+b+c\n\]\ny determine cuándo se produce la igualdad.

Llame a un entero positivo $n$ práctico si todo entero positivo menor o igual que $n$ puede escribirse como la suma de divisores distintos de $n$. Por ejemplo, los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. Dado que \[\n\centerline{1={\bf 1}, ~~ 2={\bf 2}, ~~ 3={\bf 3}, ~~ 4={\bf 1}+{\bf 3}, ~~ 5={\bf 2}+ {\bf 3}, ~~ 6={\bf 6},}\n\]\nvemos que 6 es práctico. Demuestre que el producto de dos números prácticos también es práctico.

Sea $S$ un subconjunto de $\{1, 2, \dots, 9\}$ , tal que las sumas formadas al sumar cada par no ordenado de números distintos de $S$ son todas diferentes. Por ejemplo, el subconjunto $\{1, 2, 3, 5\}$ tiene esta propiedad, pero $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ no la tiene, ya que los pares $\{1, 4\}$ y $\{2, 3\}$ tienen la misma suma, a saber, 5. ¿Cuál es el número máximo de elementos que $S$ puede contener?

Se marca un conjunto de puntos en el plano, con la propiedad de que cualquier tres puntos marcados pueden ser cubiertos con un disco de radio $1$ . Demuestra que el conjunto de todos los puntos marcados puede ser cubierto con un disco de radio $1$ .

Encuentra todos los pares ordenados de enteros $(a,b)$ tales que $3^a + 7^b$ es un cuadrado perfecto.

Define $f(x,y,z)=\frac{(xy+yz+zx)(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$ . Determina el conjunto de números reales $r$ para los cuales existe un triplete de números reales positivos que satisfacen $f(x,y,z)=r$ .

Se recortan dos círculos de diferentes radios de cartulina. Cada círculo se subdivide en $200$ sectores iguales. En cada círculo, $100$ sectores están pintados de blanco y los otros $100$ están pintados de negro. El círculo más pequeño se coloca encima del círculo más grande, de modo que sus centros coincidan. Demuestra que se puede girar el círculo pequeño para que los sectores de los dos círculos se alineen y al menos $100$ sectores del círculo pequeño se encuentren sobre sectores del mismo color en el círculo grande.