Dado una cuadrícula de $m\times n$ con cuadrados unitarios coloreados de blanco o negro, un cuadrado negro en la cuadrícula está varado si hay algún cuadrado a su izquierda en la misma fila que es blanco y hay algún cuadrado encima en la misma columna que es blanco. Encuentra una fórmula cerrada para el número de cuadrículas de $2\times n$ sin ningún cuadrado negro varado. Ten en cuenta que $n$ es cualquier número natural y la fórmula debe estar en términos de $n$ sin otras variables.

$11$ grupos teatrales participaron en un festival. Cada día, algunos de los grupos estaban programados para actuar, mientras que los grupos restantes se unían al público en general. Al finalizar el festival, cada grupo había visto, durante sus días libres, al menos $1$ actuación de cada uno de los demás grupos. ¿Al menos cuántos días duró el festival?

$P(x),Q(x)$ son dos polinomios tales que $P(x)=Q(x)$ no tiene solución real, y $P(Q(x))\equiv Q(P(x))\forall x\in\mathbb{R}$. Demuestre que $P(P(x))=Q(Q(x))$ no tiene solución real.

Dada una colección finita de líneas en un plano $P$, demuestre que es posible dibujar un círculo arbitrariamente grande en $P$ que no se cruce con ninguna de ellas. Por otro lado, demuestre que es posible organizar una secuencia infinita contable de líneas (primera línea, segunda línea, tercera línea, etc.) en $P$ de modo que cada círculo en $P$ se cruce con al menos una de las líneas. (Un punto no se considera un círculo.)

Dado un círculo de radio $r$ y una línea tangente $\ell$ al círculo a través de un punto dado $P$ en el círculo. Desde un punto variable $R$ en el círculo, se dibuja una perpendicular $RQ$ a $\ell$ con $Q$ en $\ell$. Determine el máximo del área del triángulo $PQR$.

Para cualquier número real $t$, denotamos por $[t]$ el mayor entero que es menor o igual que $t$. Por ejemplo: $[8] = 8$, $[\pi] = 3$ y $[-5/2] = -3$. Demuestra que la ecuación \[[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345\] no tiene solución real.

Un punto comienza en el origen del plano de coordenadas. Cada minuto, se mueve una unidad en la dirección $x$ o se gira $\theta$ grados en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen.\n(a) Si $\theta = 90^o$, determine todas las ubicaciones donde el punto podría terminar.\n(b) Si $\theta = 45^o$, pruebe que para cada ubicación $L$ en el plano de coordenadas y cada número positivo $\varepsilon$, hay una secuencia de movimientos después de la cual el punto tiene una distancia menor que $\varepsilon$ de $L$.\n(c) Determine todos los números racionales $\theta$ tales que para cada ubicación $L$ en el plano de coordenadas y cada número positivo $\varepsilon$, hay una secuencia de movimientos después de la cual el punto tiene una distancia menor que $\varepsilon$ de $L$.\n(d) Demuestre que cuando $\theta$ es irracional, para cada ubicación $L$ en el plano de coordenadas y cada número positivo $\varepsilon$, hay una secuencia de movimientos después de la cual el punto tiene una distancia menor que $\varepsilon$ de $L.$

(a) Sean $u$, $v$ y $w$ las soluciones reales a la ecuación $x^3 - 7x + 7 = 0$. Demuestre que existe un polinomio cuadrático $f$ con coeficientes racionales tal que $u = f(v)$, $v = f(w)$ y $w = f(u)$.\n(b) Sean $u$, $v$ y $w$ las soluciones reales a la ecuación $x^3 -7x+4 = 0$. Demuestre que no existe un polinomio cuadrático $f$ con coeficientes racionales tal que $u = f(v)$, $v = f(w)$ y $w = f(u)$.

Dado el triángulo $ABC$ con circuncírculo $\Gamma$, sean $D$, $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, y sean las líneas $AD$, $BE$ y $CF$ que intersecan $\Gamma$ nuevamente en los puntos $J$, $K$ y $L$, respectivamente. Demuestre que el área del triángulo $JKL$ es al menos la del triángulo $ABC$.

Se dan seis barajas de $n$ cartas, numeradas del $1$ al $n$. Melanie ordena cada una de las barajas en algún orden, de modo que para cualquier número distinto $x$, $y$ y $z$ en $\{1, 2, . . . , n\}$, haya exactamente una baraja donde la carta $x$ está por encima de la carta $y$ y la carta $y$ está por encima de la carta $z$. Demuestre que existe algún $n$ para el cual Melanie no puede ordenar estas seis barajas de cartas con esta propiedad.