Demuestre que: a) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que existe un cuadrado igual a la suma de los cuadrados de $n$ enteros positivos consecutivos (por ejemplo, $2$ es uno de esos números ya que $5^2=3^2+4^2$).\nb) Si $n$ es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, y si $x$ es un número entero tal que $x^2+(x+1)^2+...+(x+n-1)^2$ es un cuadrado perfecto, entonces hay infinitos enteros positivos $y$ tales que $y^2+(y+1)^2+...+(y+n-1)^2$ es un cuadrado perfecto.

Dado un número entero positivo $n$, determine el número máximo de aristas que puede tener un grafo simple sobre $n$ vértices tal que no contenga ciclos de longitud par.

En el triángulo $ABC$, la circunferencia inscrita toca los lados $BC,CA$ y $AB$ en $D,E$ y $F$ respectivamente. Sea $X$ el pie de la altura del vértice $D$ en el lado $EF$ del triángulo $DEF$. Demuestre que $AX,BY$ y $CZ$ son concurrentes en la recta de Euler del triángulo $DEF$.

Suponga que un cuadrado de lado $l$ está dentro de un cuadrado unitario y no contiene su centro. Demuestre que $l\le 1/2.$

Dado un entero $n\ge 2$, calcule $\sum_{\sigma} \textrm{sgn}(\sigma) n^{\ell(\sigma)}$, donde se consideran todas las permutaciones de $n$ elementos, y donde $\ell(\sigma)$ es el número de ciclos disjuntos en la descomposición estándar de $\sigma$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB<AC$. La bisectriz perpendicular del lado $BC$ se encuentra con el lado $AC$ en el punto $D$, y la bisectriz (interior) del ángulo $ADB$ se encuentra con la circunferencia circunscrita $ABC$ en el punto $E$. Demuestre que la bisectriz (interior) del ángulo $AEB$ y la recta que pasa por los incentros de los triángulos $ADE$ y $BDE$ son perpendiculares.

Demuestre que el conjunto $S=\{\lfloor n\pi\rfloor \mid n=0,1,2,3,\ldots\}$ contiene progresiones aritméticas de cualquier longitud finita, pero no contiene progresiones aritméticas infinitas.

Determine todas las funciones con valores reales $f$ en el conjunto de los números reales que satisfacen \[2f(x)=f(x+y)+f(x+2y)\] para todos los números reales $x$ y todos los números reales no negativos $y$.

Consideramos un poliedro que tiene exactamente dos vértices adyacentes con un número impar de aristas, y estos dos vértices están sobre la misma arista. Demostrar que para todos los enteros $n\geq 3$ existe una cara del poliedro con un número de lados no divisible por $n$ .

Sea $\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$ . Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para todo $m,n\in \mathbb{N}$ el número $f^2(m)+f(n)$ es un divisor de $(m^2+n)^2$ .