Sea $n\geq 2$ un entero. Encontrar el valor real más pequeño $\rho (n)$ tal que para cualquier $x_i>0$ , $i=1,2,\ldots,n$ con $x_1 x_2 \cdots x_n = 1$ , la desigualdad \[ \sum_{i=1}^n \frac 1{x_i} \leq \sum_{i=1}^n x_i^r \] es verdadera para todo $r\geq \rho (n)$ .

En una mesa de ajedrez de $2004 \times 2004$ hay 2004 reinas tales que no hay dos que se ataquen entre sí. Demostrar que existen dos reinas tales que en el rectángulo en el cual el centro de los cuadrados en los que se encuentran las reinas son dos esquinas opuestas, tiene un semiperímetro de 2004.

a) Demostrar que existe una sucesión de dígitos $\{c_n\}_{n\geq 1}$ tal que para cada $n\geq 1$ no importa cómo intercalemos $k_n$ dígitos, $1\leq k_n\leq 9$ , entre $c_n$ y $c_{n+1}$ , la sucesión infinita así obtenida no representa la parte fraccionaria de un número racional. b) Demostrar que para $1\leq k_n\leq 10$ no existe tal sucesión $\{c_n\}_{n\geq 1}$ .

Sea $n\geq 0$ un entero y sea $p \equiv 7 \pmod 8$ un número primo. Demostrar que \[ \sum^{p-1}_{k=1} \left \{ \frac {k^{2^n}}p - \frac 12 \right\} = \frac {p-1}2 . \]

En las aristas de un poliedro convexo dibujamos flechas tales que desde cada vértice al menos una flecha está apuntando hacia adentro y al menos una está apuntando hacia afuera. Demostrar que existe una cara del poliedro tal que las flechas en sus aristas forman un circuito.

Sea $a\in\mathbb{R}-\{0\}$ . Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f(a+x) = f(x) - x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ .

Sea $P$ un polígono (no necesariamente convexo) con $n$ vértices, tal que todos sus lados y diagonales son menores o iguales a 1 en longitud. Demostrar que el área del polígono es menor que $\dfrac {\sqrt 3} 2$ .

Sea $ABC$ un triángulo, y sean $D$ , $E$ , $F$ 3 puntos en los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente, tales que los inradios de los triángulos $AEF$ , $BDF$ y $CDE$ son iguales a la mitad del inradio del triángulo $ABC$ . Demostrar que $D$ , $E$ , $F$ son los puntos medios de los lados del triángulo $ABC$ .

Sea $A_0A_1A_2A_3A_4A_5$ un hexágono convexo inscrito en un círculo. Definir los puntos $A_0'$ , $A_2'$ , $A_4'$ en el círculo, tales que \[ A_0A_0' \parallel A_2A_4, \quad A_2A_2' \parallel A_4A_0, \quad A_4A_4' \parallel A_2A_0 . \] Sean las rectas $A_0'A_3$ y $A_2A_4$ se intersecan en $A_3'$ , las rectas $A_2'A_5$ y $A_0A_4$ se intersecan en $A_5'$ y las rectas $A_4'A_1$ y $A_0A_2$ se intersecan en $A_1'$ . Demostrar que si las rectas $A_0A_3$ , $A_1A_4$ y $A_2A_5$ son concurrentes entonces las rectas $A_0A_3'$ , $A_4A_1'$ y $A_2A_5'$ también son concurrentes.

Una sucesión de números reales $\{a_n\}_n$ se llama una sucesión bs si $a_n = |a_{n+1} - a_{n+2}|$ , para todo $n\geq 0$ . Demostrar que una sucesión bs es acotada si y sólo si la función $f$ dada por $f(n,k)=a_na_k(a_n-a_k)$ , para todo $n,k\geq 0$ es la función nula.