Sean $m,n$ enteros coprimos, tales que $m$ es par y $n$ es impar. Demostrar que la siguiente expresión no depende de los valores de $m$ y $n$ : \[ \frac 1{2n} + \sum^{n-1}_{k=1} (-1)^{\left[ \frac{mk}n \right]} \left\{ \frac {mk}n \right\} . \]

Demostrar que en cualquier polígono convexo con $4n+2$ lados ( $n\geq 1$ ) existen dos lados consecutivos que forman un triángulo de área a lo sumo $\frac 1{6n}$ del área del polígono.

Demostrar que si la distancia desde un punto dentro de un poliedro convexo con $n$ caras a los vértices del poliedro es a lo sumo 1, entonces la suma de las distancias desde este punto a las caras del poliedro es menor que $n-2$ .

Sea $n\geq 1$ un entero y sea $X$ un conjunto de $n^2+1$ enteros positivos tal que en cualquier subconjunto de $X$ con $n+1$ elementos existen dos elementos $x\neq y$ tales que $x\mid y$ . Demostrar que existe un subconjunto $\{x_1,x_2,\ldots, x_{n+1} \} \in X$ tal que $x_i \mid x_{i+1}$ para todo $i=1,2,\ldots, n$ .

Resolver la ecuación $3^x=2^xy+1$ en enteros positivos.

Encuentre todos los pares de enteros $(c, d)$, ambos mayores que 1, tales que se cumpla lo siguiente: Para cualquier polinomio mónico $Q$ de grado $d$ con coeficientes enteros y para cualquier primo $p > c(2c+1)$, existe un conjunto $S$ de a lo sumo $\big(\tfrac{2c-1}{2c+1}\big)p$ enteros, tal que \[\bigcup_{s \in S} \{s,\; Q(s),\; Q(Q(s)),\; Q(Q(Q(s))),\; \dots\}\] contiene un sistema de residuos completo módulo $p$ (es decir, se cruza con cada clase de residuos módulo $p$).

Dos hormigas se mueven a lo largo de las aristas de un poliedro convexo. La ruta de cada hormiga termina en su punto de partida, de modo que una hormiga no pasa por el mismo punto dos veces a lo largo de su camino. En cada cara $F$ del poliedro se escribe el número de aristas de $F$ que pertenecen a la ruta de la primera hormiga y el número de aristas de $F$ que pertenecen a la ruta de la segunda hormiga. ¿Existe un poliedro y un par de rutas descritas como se indicó anteriormente, de modo que solo una cara contenga un par de números distintos?

Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen \[f(x + yf(x)) + f(xy) = f(x) + f(2019y),\] para todos los números reales $x$ e $y$.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $P$ un punto en su plano tal que $AP<BP<CP.$ Suponga que las longitudes de los segmentos $AP,BP$ y $CP$ determinan únicamente el lado de $ABC$ . Demuestre que $P$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC.$

Demuestre que para cada entero positivo $n$ existe un polígono (no necesariamente convexo) sin tres vértices colineales, que admite exactamente $n$ triangulaciones diferentes. (Una triangulación es una disección del polígono en triángulos mediante diagonales interiores que no tienen puntos interiores en común entre sí ni con los lados del polígono)