Dado cualquier número real positivo $\varepsilon$, demuestre que, para todos menos finitamente muchos enteros positivos $v$, cualquier grafo sobre $v$ vértices con al menos $(1+\varepsilon)v$ aristas tiene dos ciclos simples distintos de igual longitud. (Recuerde que la noción de un ciclo simple no permite la repetición de vértices en un ciclo.)

Fije un entero impar $n > 1$ . Para una permutación $p$ del conjunto $\{1,2,...,n\}$ , sea S el número de pares de índices $(i, j)$ , $1 \le i \le j \le n$ , para los cuales $p_i +p_{i+1} +...+p_j$ es divisible por $n$ . Determine el valor máximo posible de $S$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. La línea que pasa por $C$ perpendicular a $AC$ se encuentra con la bisectriz del ángulo externo de $\angle ABC$ en $D$ . Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $D$ sobre $BC$ . El punto $K$ se elige en $AB$ de modo que $KH \parallel AC$ . Sea $M$ el punto medio de $AK$ . Demuestre que $MC = MB + BH$ .

Amy y Bob juegan un juego. Al principio, Amy escribe un entero positivo en la pizarra. Luego los jugadores hacen movimientos por turnos, Bob se mueve primero. En cualquier movimiento suyo, Bob reemplaza el número $n$ en la pizarra con un número de la forma $n-a^2$, donde $a$ es un entero positivo. En cualquier movimiento suyo, Amy reemplaza el número $n$ en la pizarra con un número de la forma $n^k$, donde $k$ es un entero positivo. Bob gana si el número en la pizarra se convierte en cero. ¿Puede Amy evitar que Bob gane?

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $AB\parallel CD$. Sea $E$ el punto medio de $AC$. Denotemos por $\omega$ y $\Omega$ los circuncírculos de los triángulos $ABE$ y $CDE$, respectivamente. Sea $P$ el punto de cruce de la tangente a $\omega$ en $A$ con la tangente a $\Omega$ en $D$. Demuestra que $PE$ es tangente a $\Omega$.

Amy y Bob juegan un juego. Al principio, Amy escribe un entero positivo en la pizarra. Luego los jugadores hacen movimientos por turnos, Bob se mueve primero. En cualquier movimiento suyo, Bob reemplaza el número $n$ en la pizarra con un número de la forma $n-a^2$, donde $a$ es un entero positivo. En cualquier movimiento suyo, Amy reemplaza el número $n$ en la pizarra con un número de la forma $n^k$, donde $k$ es un entero positivo. Bob gana si el número en la pizarra se convierte en cero. ¿Puede Amy evitar que Bob gane?

Un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ consta de $64$ unidades cuadradas. En algunos de los cuadrados unitarios del tablero, se dibujan diagonales de modo que dos diagonales cualesquiera no tengan puntos en común. ¿Cuál es el número máximo de diagonales que se pueden dibujar?

Sean $a, b, c$ números reales con la propiedad como $ab + bc + ca = 1$ . Demostrar que: $$\frac {(a + b) ^ 2 + 1} {c ^ 2 + 2} + \frac {(b + c) ^ 2 + 1} {a ^ 2 + 2} + \frac {(c + a) ^ 2 + 1} {b ^ 2 + 2} \ge 3 $$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $D, E, F$ los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Demostrar que $\angle DAC = \angle ABE$ si y sólo si $\angle AFC = \angle BDA$ .

Sea $p$ un número primo, $p> 5$ . Determinar los números naturales no nulos $x$ con la propiedad de que $5p + x$ divide a $5p ^ n + x ^ n$ , sea cual sea $n \in N ^ {*} $ .