El plano considera $51$ puntos de coordenadas enteras, de modo que las distancias entre dos puntos cualesquiera son números naturales. Demostrar que al menos el $49\%$ de las distancias son pares.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en el círculo $(O)$ . Sea $I$ el centro del círculo inscrito en el triángulo y $D$ el punto de contacto del círculo inscrito con el lado $BC$ . Sea $M$ el segundo punto de intersección de la bisectriz $AI$ con el círculo $(O)$ y sea $P$ el punto donde la recta $DM$ intersecta al círculo $(O)$ . Demostrar que $PA \perp PI$ .

Demostrar que: a) Existe una secuencia de números naturales no nulos $a_1, a_2, ...$ determinados de forma única, de modo que: $n = \sum _ {d | n} a _ d$ para cualquier $n \in N ^ {*}$ . b) Existe una secuencia de números naturales no nulos $b_1, b_2, ...$ determinados de forma única, de modo que: $n = \prod _ {d | n} b _ d$ para cualquier $n \in N ^ {*}$ . Nota: La suma de a), respectivamente el producto de b), se realizan después de todos los divisores naturales $d$ del número $n$ , incluidos $1$ y $n$ .

Determinar los números primos $p, q, r$ con la propiedad de que: $p(p-7) + q (q-7) = r (r-7)$ .

Sea un triángulo $ABC$ , $O$ su circuncentro , $H$ ortocentro y $M$ el punto medio de $AH$ . La perpendicular a $M$ a la recta $OM$ se encuentra con $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ , respectiva $Q$ . Demostrar que $MP=MQ$ .

Consideramos los números reales $a _ 1, a _ 2, a _ 3, a _ 4, a _ 5$ con la suma cero y la propiedad de que $| a _ i - a _ j | \le 1$ , sea cual sea $i,j \in \{1, 2, 3, 4, 5 \} $ . Demostrar que $a _ 1 ^ 2 + a _ 2 ^ 2 + a _ 3 ^ 2 + a _ 4 ^ 2 + a _ 5 ^ 2 \le \frac {6} {5}$ .

Sea $n$ un entero, $n \ge 2$ . Para cada número $k = 1, 2, ....., n,$ denotemos por $a _ k$ el número de múltiplos de $k$ en el conjunto $\{1, 2,. .., n \}$ y sea $x _ k = \frac {1} {1} + \frac {1} {2} + \frac {1} {3} _... + \frac {1} {a _ k}$ . Demostrar que: $$\frac {x _ 1 + x _ 2 + ... + x _ n} {n} \le \frac {1} {1 ^ 2} + \frac {1} {2 ^ 2} + ... + \frac {1} {n ^ 2} $$ .

Consideremos dos triángulos equiláteros $ABC$ y $MNP$ con la propiedad de que $AB \parallel MN, BC \parallel NP$ y $CA \parallel PM$ , de modo que las superficies de los triángulos se cruzan después de un hexágono convexo. Las distancias entre los tres pares de líneas paralelas son a lo sumo iguales a $1$ . Demostrar que al menos uno de los dos triángulos tiene el lado a lo sumo igual a $\sqrt {3}$ .

Sea $I$ el incentro del triángulo escaleno ABC y denotemos por $a,$ $b$ los círculos con diámetros $IC$ e $IB$ , respectivamente. Si $c,$ $d$ son imágenes especulares de $a,$ $b$ en $IC$ e $IB$ demostrar que el circuncentro $O$ del triángulo $ABC$ se encuentra en el eje radical de $c$ y $d$ .

Determinar los enteros $n, n \ge 2$ , con la propiedad de que los números $1! , 2 ! , 3 ! , ..., (n- 1)!$ dan restos diferentes al dividir por $n $ .