Sean $a_1, a_2, ..., a_n$ números reales tales que $a_1 + a_2 + ... + a_n = 0$ y $| a_1 | + | a_2 | + ... + | a_n | = 1$ . Demostrar que: $| a _ 1 + 2 a _ 2 + ... + n a _ n | \le \frac {n-1} {2}$ .

Consideramos en un círculo una cantidad finita de números reales con la suma estrictamente mayor que $0$ . De todas las sumas que tienen como términos números en posiciones consecutivas en el círculo, sea $S$ la suma más grande y $s$ la suma más pequeña. Demostrar que $S + s> 0$ .

Sea $n$ un número natural no nulo, $n \ge 5$ . Considere $n$ puntos distintos en el plano, cada uno coloreado de blanco o negro. Para cada $k$ natural, un movimiento de tipo $k, 1 \le k <\frac {n} {2}$ , significa seleccionar exactamente $k$ puntos y cambiar su color. Determine los valores de $n$ para los cuales, cualquiera que sea $k$ e independientemente de la coloración inicial, existe una secuencia finita de movimientos de tipo $k$, al final de la cual todos los puntos tienen el mismo color.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$ y sea $n$ un número natural, $n>1$ . En el lado $AB$ consideramos el punto $M$ tal que $n \cdot AM = AB$ . En el lado $BC$ consideramos los puntos $P_1, P_2, ....., P_ {n-1}$ tales que $BP_1 = P_1P_2 = .... = P_ {n-1} C = \frac{1}{n} BC$ . Demostrar que: $\angle {MP_1A} + \angle {MP_2A} + .... + \angle {MP_ {n-1} A} = \frac{1} {2} \angle {BAC}$ .

Sea $n \ne 0$ un número natural y enteros $x_1, x_2, ...., x_n, y_1, y_2, ...., y_n$ con las propiedades: a) $x_1 + x_2 + .... + x_n = y_1 + y_2 + .... + y_n = 0,$ b) $x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 = x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 = .... = x_n ^ 2 + y_n ^ 2$ . Demostrar que $n$ es par.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle BCD= 120^o, \angle {CBA} = 45^o, \angle {CBD} = 15^o$ y $\angle {CAB} = 90^o$ . Demostrar que $AB = AD$ .

Determinar los números primos $p, q, r$ con la propiedad $\frac {1} {p} + \frac {1} {q} + \frac {1} {r} \ge 1$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC = \angle ADC < 90^{\circ}$. Las bisectrices internas de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ se encuentran con $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente, y se encuentran entre sí en el punto $P$. Sea $M$ el punto medio de $AC$ y sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $BPD$. Los segmentos $BM$ y $DM$ se intersecan con $\omega$ nuevamente en $X$ e $Y$ respectivamente. Denotemos por $Q$ el punto de intersección de las rectas $XE$ e $YF$. Demuestre que $PQ \perp AC$.

Sea $n$ un entero positivo, y sea $S_n$ el conjunto de todas las permutaciones de $1,2,...,n$. sea $k$ un entero no negativo, sea $a_{n,k}$ el número de permutaciones pares $\sigma$ en $S_n$ tales que $\sum_{i=1}^{n}|\sigma(i)-i|=2k$ y $b_{n,k}$ el número de permutaciones impares $\sigma$ en $S_n$ tales que $\sum_{i=1}^{n}|\sigma(i)-i|=2k$. Evalúe $a_{n,k}-b_{n,k}$.

Considere las fracciones $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. (a) Demuestre que para todo entero positivo $n$, existe tal fracción $\frac{a}{b}$ tal que $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}+1$. (b) Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que ninguna fracción $\frac{a}{b}$ satisface $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}$.