Sean $a_1,a_2,a_3,a_4$ los lados de un cuadrilátero arbitrario de perímetro $2s$. Demuestre que \[ \sum\limits^4_{i=1} \dfrac 1{a_i+s} \leq \dfrac 29\sum\limits_{1\leq i<j\leq 4} \dfrac 1{ \sqrt { (s-a_i)(s-a_j)}}. \] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $n\geqslant 3$ un entero y $a_1,\ldots,a_n$ números reales no nulos, con suma $S{}$ . Demuestre que \[\sum_{i=1}^n\left|\frac{S-a_i}{a_i}\right|\geqslant\frac{n-1}{n-2}.\]

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con $AB=AD$ los puntos $M$ , $N$ se encuentran en los lados $BC$ y $CD$ respectivamente de manera que $MN=BM+DN$ . Las líneas $AM$ y $AN$ se encuentran con la circunferencia circunscrita de $ABCD$ de nuevo en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestre que el ortocentro del triángulo $APQ$ se encuentra en el segmento $MN$ .

Suponga que $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ es una función para la cual la expresión $af(a)+bf(b)+2ab$ para todo $a,b \in \mathbb{N}$ es siempre un cuadrado perfecto. Demuestre que $f(a)=a$ para todo $a \in \mathbb{N}$ .

Un cuadrado con lado $2008$ se divide en regiones que son todos cuadrados con lado $1$ . En cada región, se escribe $0$ o $1$ , y el número de $1$ ' s y $0$ ' s es el mismo. Se elimina la frontera entre dos de las regiones, y también se eliminan los números en cada una de ellas, mientras que en la nueva región, se registra su media aritmética. Después de varias de esas operaciones, sólo queda un cuadrado, que es el cuadrado grande en sí mismo. Demuestre que es posible realizar estas operaciones de tal manera, que el número final en el cuadrado grande sea menor que $\frac{1}{2^{10^6}}$ .

Considere fracciones $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. (a) Demuestre que para cada entero positivo $n$ , existe tal fracción $\frac{a}{b}$ tal que $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}+1$ . (b) Muestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que ninguna fracción $\frac{a}{b}$ satisface $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}$ .

Sea $D{}$ un punto dentro del triángulo $ABC$ . Sean $E{}$ y $F{}$ las proyecciones de $D{}$ sobre $AB$ y $AC$ , respectivamente. Las líneas $BD$ y $CD$ intersecan la circunferencia circunscrita de $ABC$ la segunda vez en $M{}$ y $N{}$ , respectivamente. Demuestre que \[\frac{EF}{MN}\geqslant \frac{r}{R},\] donde $r{}$ y $R{}$ son el inradio y el circunradio de $ABC$ , respectivamente.

Sean $b, m, n$ enteros positivos tales que $b > 1$ y $m \neq n.$ Demuestre que si $b^m - 1$ y $b^n - 1$ tienen los mismos divisores primos, entonces $b + 1$ es una potencia de 2.

En la ciudad $A,$ hay $n$ chicas y $n$ chicos, y cada chica conoce a cada chico. En la ciudad $B,$ hay $n$ chicas $g_1, g_2, \ldots, g_n$ y $2n - 1$ chicos $b_1, b_2, \ldots, b_{2n-1}.$ La chica $g_i,$ $i = 1, 2, \ldots, n,$ conoce a los chicos $b_1, b_2, \ldots, b_{2i-1},$ y a ningún otro. Para todo $r = 1, 2, \ldots, n,$ denotemos por $A(r),B(r)$ el número de formas diferentes en que $r$ chicas de la ciudad $A,$ respectivamente la ciudad $B,$ pueden bailar con $r$ chicos de su propia ciudad, formando $r$ pares, cada chica con un chico que conoce. Demuestre que $A(r) = B(r)$ para cada $r = 1, 2, \ldots, n.$

Dos cuadrados unitarios con lados paralelos se superponen en un rectángulo de área $1/8$ . Encuentra los valores extremos de la distancia entre los centros de los cuadrados.