Sea $n$ un entero positivo dado. Se dice que un conjunto $K$ de puntos con coordenadas enteras en el plano está conectado si para cada par de puntos $R, S\in K$ , existe un entero positivo $\ell$ y una secuencia $R=T_0,T_1, T_2,\ldots ,T_{\ell}=S$ de puntos en $K$ , donde cada $T_i$ está a distancia $1$ de $T_{i+1}$ . Para tal conjunto $K$ , definimos el conjunto de vectores \[\Delta(K)=\{\overrightarrow{RS}\mid R, S\in K\}\] ¿Cuál es el valor máximo de $|\Delta(K)|$ sobre todos los conjuntos conectados $K$ de $2n+1$ puntos con coordenadas enteras en el plano?

Determine si existe un polinomio $f(x_1, x_2)$ con dos variables, con coeficientes enteros, y dos puntos $A=(a_1, a_2)$ y $B=(b_1, b_2)$ en el plano, que satisfagan las siguientes condiciones: \n(i) $A$ es un punto entero (i.e $a_1$ y $a_2$ son enteros); \n(ii) $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|=2010$ ; \n(iii) $f(n_1, n_2)>f(a_1, a_2)$ para todos los puntos enteros $(n_1, n_2)$ en el plano distintos de $A$ ; \n(iv) $f(x_1, x_2)>f(b_1, b_2)$ para todos los puntos enteros $(x_1, x_2)$ en el plano distintos de $B$ .

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un cuadrilátero sin ningún par de lados paralelos. Para cada $i=1, 2, 3, 4$ , defina $\omega_1$ como el círculo que toca el cuadrilátero externamente, y que es tangente a las líneas $A_{i-1}A_i, A_iA_{i+1}$ y $A_{i+1}A_{i+2}$ (los índices se consideran módulo $4$ así que $A_0=A_4, A_5=A_1$ y $A_6=A_2$ ) . Sea $T_i$ el punto de tangencia de $\omega_i$ con el lado $A_iA_{i+1}$ . Demuestre que las líneas $A_1A_2, A_3A_4$ y $T_2T_4$ son concurrentes si y sólo si las líneas $A_2A_3, A_4A_1$ y $T_1T_3$ son concurrentes.

Para cada entero positivo $n$ , encuentre el mayor número real $C_n$ con la siguiente propiedad. Dado cualquier $n$ funciones con valores reales $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$ definidas en el intervalo cerrado $0 \le x \le 1$ , uno puede encontrar números $x_1, x_2, \cdots x_n$ , tales que $0 \le x_i \le 1$ satisfaciendo \[|f_1(x_1)+f_2(x_2)+\cdots f_n(x_n)-x_1x_2\cdots x_n| \ge C_n\]

Para un conjunto finito no vacío de primos $P$ , sea $m(P)$ el mayor número posible de enteros positivos consecutivos, cada uno de los cuales es divisible por al menos un miembro de $P$ . \n(i) Demuestre que $|P|\le m(P)$ , con igualdad si y sólo si $\min(P)>|P|$ . \n(ii) Demuestre que $m(P)<(|P|+1)(2^{|P|}-1)$ . (El número $|P|$ es el tamaño del conjunto $P$ )

Sean $a_1<a_2<\cdots<a_n$ enteros positivos. Alguna coloración de $\mathbb{Z}$ es periódica con período $t$ tal que para cada $x\in \mathbb{Z}$ exactamente uno de $x+a_1,x+a_2,\dots,x+a_n$ está coloreado. Pruebe que $n\mid t$ .

Las diagonales de un pentágono $ABCDE$ determinan otro pentágono $MNPQR$ . Si $MNPQR$ y $ABCDE$ son similares, ¿debe ser $ABCDE$ regular?

Sean $n, a, b$ enteros con $n \geq 2$ y $a \notin \{0, 1\}$ y sea $u(x) = ax + b$ la función definida en enteros. Demuestre que hay infinitas funciones $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que $f_n(x) = \underbrace{f(f(\cdots f}_{n}(x) \cdots )) = u(x)$ para todo $x$ . Si $a = 1$ , demuestre que hay un $b$ para el cual no existe $f$ con $f_n(x) \equiv u(x)$ .

Sean $x_1,x_2,...,x_{2n}$ números reales positivos con la suma $1$ . Pruebe que $$x_1^2x_2^2...x_n^2+x_2^2x_3^2...x_{n+1}^2+...+x_{2n}^2x_1^2...x_{n-1}^2 <\frac{1}{n^{2n}}$$

Sea $n \ge 3$ un entero. Un número finito de arcos disjuntos con la suma total de longitud $1 -\frac{1}{n}$ se dan en un círculo de perímetro $1$ . Pruebe que existe un $n$ - gono regular cuyos vértices se encuentran en los arcos considerados