Prueba que si en un triángulo el ortocentro, el baricentro y el incentro son colineales, entonces el triángulo es isósceles.

En el paralelepípedo rectangular $ABCDA'B'C'D'$ denotamos por $M$ el centro de la cara $ABB'A'$ . Denotamos por $M_1$ y $M_2$ las proyecciones de $M$ en las líneas $B'C$ y $AD'$ respectivamente. Prueba que: a) $MM_1 = MM_2$ b) si $(MM_1M_2) \cap (ABC) = d$ , entonces $d \parallel AD$ ; c) $\angle (MM_1M_2), (A B C)= 45^ o \Leftrightarrow \frac{BC}{AB}=\frac{BB'}{BC}+\frac{BC}{BB'}$ .

Sean $a, b, c \ge 0$ tales que $ab + bc + ca = 3$ . Prueba que: $$\frac{a}{a^2+7}+\frac{b}{b^2+7}+\frac{c}{c^2+7}\le \frac38$$

Sean $a, b, c, d$ números naturales tales que $a + b + c + d = 2018$ . Encuentra el valor mínimo de la expresión: $$E = (a-b)^2 + 2(a-c)^2 + 3(a-d)^2+4(b-c)^2 + 5(b-d)^2 + 6(c-d)^2.$$

Prueba que hay infinitos conjuntos de cuatro enteros positivos tales que la suma de los cuadrados de cualquier tres elementos es un cuadrado perfecto.

Encuentra el número natural $n$ para el cual $$\sqrt{\frac{20^n- 18^n}{19}}$$ es un número racional.

En los lados $[AB]$ y $[BC]$ del paralelogramo $ABCD$ se construyen los triángulos equiláteros $ABE$ y $BCF,$ de modo que los puntos $D$ y $E$ estén en el mismo lado de la línea $AB$ , y $F$ y $D$ en diferentes lados de la línea $BC$ . Si los puntos $E,D$ y $F$ son colineales, entonces prueba que $ABCD$ es un rombo.

En el cuadrado $ABCD$ el punto $E$ se encuentra en el lado $[AB]$ , y $F$ es el pie de la perpendicular desde $B$ sobre la línea $DE$ . El punto $L$ pertenece a la línea $DE$ , tal que $F$ está entre $E$ y $L$ , y $FL = BF$ . $N$ y $P$ son simétricos de los puntos $A , F$ con respecto a las líneas $DE, BL$ , respectivamente. Demuestra que: a) El cuadrilátero $BFLP$ es cuadrado y el cuadrilátero $ALND$ es rombo. b) El área del rombo $ALND$ es igual a la diferencia entre las áreas de los cuadrados $ABCD$ y $BFLP$ .

Encuentra los distintos enteros positivos $a, b, c,d$ , tales que se cumplan las siguientes condiciones: (1) exactamente tres de los cuatro números son números primos; (2) $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2018.$

Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes racionales, de grado $d \ge 2$ , definimos la secuencia de conjuntos $f^0(\mathbb{Q}), f^1(\mathbb{Q}), \ldots$ como $f^0(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$ , $f^{n+1}(\mathbb{Q})=f(f^{n}(\mathbb{Q}))$ para $n\ge 0$ . (Dado un conjunto $S$ , escribimos $f(S)$ para el conjunto $\{f(x)\mid x\in S\})$ . Sea $f^{\omega}(\mathbb{Q})=\bigcap_{n=0}^{\infty} f^n(\mathbb{Q})$ el conjunto de números que están en todos los conjuntos $f^n(\mathbb{Q})$ , $n\geq 0$ . Demuestre que $f^{\omega}(\mathbb{Q})$ es un conjunto finito.