Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función con la propiedad del valor intermedio. Si $f$ es inyectiva en $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q},$ prueba que $f$ es continua en $\mathbb{R}.$

Sea $x>0.$ Prueba que $$2^{-x}+2^{-1/x} \leq 1.$$

Sea $n \geq 2$ un entero positivo y, para todos los vectores con entradas enteras $$X=\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n\n\end{pmatrix}$$ sea $\delta(X) \geq 0$ el máximo común divisor de $x_1,x_2, \dots, x_n.$ Además, considera $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}).$ Prueba que las siguientes afirmaciones son equivalentes: $\textbf{i) }$ $|\det A | = 1$ $\textbf{ii) }$ $\delta(AX)=\delta(X),$ para todos los vectores $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{Z}).$

Sea $n \in \mathbb{N}_{\geq 2}.$ Para cualquier número real $a_1,a_2,...,a_n$ denotamos $S_0=1$ y para $1 \leq k \leq n$ denotamos $$S_k=\sum_{1 \leq i_1 < i_2 < ... <i_k \leq n}a_{i_1}a_{i_2}...a_{i_k}$$ Encuentra el número de $n-$ uplas $(a_1,a_2,...a_n)$ tales que $$(S_n-S_{n-2}+S_{n-4}-...)^2+(S_{n-1}-S_{n-3}+S_{n-5}-...)^2=2^nS_n.$$

Sea $n \in \mathbb{N}_{\geq 2}.$ Prueba que para cualquier número complejo $a_1,a_2,\ldots,a_n$ y $b_1,b_2,\ldots,b_n,$ las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) $\sum_{k=1}^n|z-a_k|^2 \leq \sum_{k=1}^n|z-b_k|^2, \: \forall z \in \mathbb{C}.$ b) $\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^nb_k$ y $\sum_{k=1}^n|a_k|^2 \leq \sum_{k=1}^n|b_k|^2.$

Sea $ABC$ un triángulo, $O$ su circuncentro y $R=1$ su circunradio. Sean $G_1,G_2,G_3$ los centroides de los triángulos $OBC, OAC$ y $OAB.$ Prueba que el triángulo $ABC$ es equilátero si y sólo si $$AG_1+BG_2+CG_3=4$$

Sea $n \in \mathbb{N}_{\geq 2}$ y $a_1,a_2, \dots , a_n \in (1,\infty).$ Prueba que $f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ con $$f(x)=(a_1a_2...a_n)^x-a_1^x-a_2^x-...-a_n^x$$ es una función estrictamente creciente.

Sea $n \in \mathbb{N}^*$ y considera un círculo de longitud $6n$ junto con $3n$ puntos en el círculo que lo dividen en $3n$ arcos: $n$ de ellos tienen longitud $1,$ otros $n$ tienen longitud $2$ y los $n$ restantes tienen longitud $3.$ Prueba que entre estos puntos debe haber dos tales que la línea que los conecta pasa por el centro del círculo.

Sean $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dos cuadráticas tales que, para cualquier número real $r,$ si $f(r)$ es un entero, entonces $g(r)$ también es un entero. Prueba que existen dos enteros $m$ y $n$ tales que $$g(x)=mf(x)+n, \: \forall x \in \mathbb{R}$$

Sean $a,b,c \geq 0$ y $a+b+c=3.$ Prueba que $$\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+a} \geq \frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+a}$$