Considere un cuadrilátero convexo $ABCD$ . Denotemos $M, \ N$ los puntos de tangencia del círculo inscrito en $\triangle ABD$ con $AB, \ AD$ , respectivamente y $P, \ Q$ los puntos de tangencia del círculo inscrito en $\triangle CBD$ con los lados $CD, \ CB$ , respectivamente. Asuma que los círculos inscritos en $\triangle ABD, \ \triangle CBD$ son tangentes. Demuestre que: a) $ABCD$ es circunscribible. b) $MNPQ$ es cíclico. c) Los círculos inscritos en $\triangle ABC, \ \triangle ADC$ son tangentes.

Encuentre los enteros positivos $n$ con $n \geq 4$ tales que $[\sqrt{n}]+1$ divide a $n-1$ y $[\sqrt{n}]-1$ divide a $n+1$ .

Un papel rectangular se divide en áreas de polígonos de la siguiente manera: en cada paso una de las superficies existentes se corta con una línea recta, obteniendo dos nuevas áreas. ¿Cuál es el número mínimo de cortes necesarios para que entre los polígonos obtenidos existan $251$ polígonos con $11$ lados?

Sea $ABCD$ un trapecio $(AB \parallel CD)$ y sean $M,N$ los puntos de intersección de los círculos de diámetros $AD$ y $BC$. Demuestre que $O \in MN$ , donde $O \in AC \cap BD$ .

Sean $a,b$ dos enteros. Demuestre que existe y es único un par de enteros $(x,y)$ tal que: \[(x+2y-a)^{2}+(2x-y-b)^{2}\leq 1.\]

Para cualquier $k \in \mathbb{Z},$ define $$F_k=X^4+2(1-k)X^2+(1+k)^2.$$ Encuentra todos los valores $k \in \mathbb{Z}$ tales que $F_k$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}$ y reducible sobre $\mathbb{Z}_p,$ para cualquier primo $p.$

Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una función integrable y $(a_n) \subset \mathbb{R}$ tal que $a_n \to 0.$ $\textbf{a) }$ Si $A= \{m \cdot a_n \mid m,n \in \mathbb{N}^* \},$ prueba que todo intervalo abierto de números reales estrictamente positivos contiene elementos de $A.$ $\textbf{b) }$ Si, para cualquier $n \in \mathbb{N}^*$ y para cualquier $x,y \in [a,b]$ con $|x-y|=a_n,$ la desigualdad $\left| \int_x^yf(t)dt \right| \leq |x-y|$ es verdadera, prueba que $$\left| \int_x^y f(t)dt \right| \leq |x-y|, \: \forall x,y \in [a,b]$$

Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de funciones continuas $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$e^{f(x)}+f(x) \geq x+1, \: \forall x \in \mathbb{R}$$ Para $f \in \mathcal{F},$ sea $$I(f)=\int_0^ef(x) dx$$ Determina $\min_{f \in \mathcal{F}}I(f).$

Sea $A$ un anillo finito y $a,b \in A,$ tal que $(ab-1)b=0.$ Prueba que $b(ab-1)=0.$

Sea $n$ un entero con $n \geq 2$ y sea $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tal que $\operatorname{rank} A \neq \operatorname{rank} A^2.$ Prueba que existe una matriz no nula $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tal que $$AB=BA=B^2=0$$