En un triángulo $A_1A_2A_3$ , los círculos exinscritos correspondientes a los lados $A_2A_3$ , $A_3A_1$ , $A_1A_2$ tocan estos lados en $T_1$ , $T_2$ , $T_3$ , respectivamente. Si $H_1$ , $H_2$ , $H_3$ son los ortocentros de los triángulos $A_1T_2T_3$ , $A_2T_3T_1$ , $A_3T_1T_2$ , respectivamente, pruebe que las líneas $H_1T_1$ , $H_2T_2$ , $H_3T_3$ son concurrentes.

Sea $S$ el conjunto de todas las áreas poligonales en un plano. Pruebe que existe una función $f : S \to (0,1)$ que satisface $f(S_1 \cup S_2) = f(S_1)+ f(S_2)$ para cualquier $S_1,S_2 \in S$ que tienen puntos en común solo en sus bordes

Sea $C$ una coloración de todas las aristas y diagonales de un $n$ − gono convexo en rojo y azul (en rumano, rosu y albastru). Denote por $q_r(C)$ (resp. $q_a(C)$ ) el número de cuadriláteros que tienen todas sus aristas y diagonales rojas (resp. azules). Pruebe: $ \underset{C}{min} (q_r(C)+q_a(C)) \le \frac{1}{32} {n \choose 4}$

La secuencia ( $a_n$ ) está definida por $a_1 = a_2 = 1$ y $a_{n+2 }= a_{n+1} +a_n +k$ , donde $k$ es un entero positivo. Encuentre el menor $k$ para el cual $a_{1991}$ y $1991$ no son coprimos.

Sea $M=\{A_{1},A_{2},\ldots,A_{5}\}$ un conjunto de cinco puntos en el plano tal que el área de cada triángulo $A_{i}A_{j}A_{k}$ , es mayor que 3. Pruebe que existe un triángulo con vértices en $M$ y que tiene un área mayor que 4.

Una secuencia $(a_n)$ de enteros positivos satisface s $(a_m,a_n) = a_{(m,n)}$ para todos $m,n$ . Pruebe que existe una secuencia única $(b_n)$ de enteros positivos tal que $a_n = \prod_{d|n} b_d$

Pruebe la siguiente identidad para todo $ n\in N$ : $ \sum_{j+h=n,j\geq h}\frac{(-1)^h2^{j-h}\binom{j}{h}}{j}=\frac{2}{n}$

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un tetraedro. Para cualquier permutación $(i, j,k,h)$ de $1,2,3,4$ denotamos: - $P_i$ – la proyección ortogonal de $A_i$ sobre $A_jA_kA_h$ ; - $B_{ij}$ – el punto medio de la arista $A_iAj$ , - $C_{ij}$ – el punto medio del segmento $P_iP_j$ - $\beta_{ij}$ – el plano $B_{ij}P_hP_k$ - $\delta_{ij}$ – el plano $B_{ij}P_iP_j$ - $\alpha_{ij}$ – el plano que pasa por $C_{ij}$ ortogonal a $A_kA_h$ - $\gamma_{ij}$ – el plano que pasa por $C_{ij}$ ortogonal a $A_iA_j$ . Pruebe que si los puntos $P_i$ no están en un plano, entonces los siguientes conjuntos de planos son concurrentes: (a) $\alpha_{ij}$ , (b) $\beta_{ij}$ , (c) $\gamma_{ij}$ , (d) $\delta_{ij}$ .

Suponga que $ a,b$ son enteros positivos para los cuales $ A=\frac{a+1}{b}+\frac{b}{a}$ es un entero. Pruebe que $ A=3$ .

Sea un anillo $ A. $ Denota con $ N(A) $ el subconjunto de todos los elementos nilpotentes de $ A, $ con $ Z(A) $ el centro de $ A, $ y con $ U(A) $ las unidades de $ A. $ Prueba:\na) $ Z(A)=A\implies N(A)+U(A)=U(A) . $\nb) $ \text{card} (A)\in\mathbb{N}\wedge a+U(A)\subset U(A)\implies a\in N(A) . $