Sea $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} $ una función continua y no decreciente.\na) Muestra que la sucesión $ \left( \frac{1}{2^n}\sum_{i=1}^{2^n} f\left(\frac{i}{2^n}\right) \right)_{n\ge 1} $ es no creciente.\nb) Prueba que, si existe algún índice natural en el que la sucesión anterior es igual a $ \int_0^1 f(x)dx, $ entonces $ f $ es constante.

Sea $ G $ el conjunto de matrices de la forma $ \begin{pmatrix} a&b\\0&1 \end{pmatrix} , $ con $ a,b\in\mathbb{Z}_7,a\neq 0. $\na) Verifica que $ G $ es un grupo.\nb) Muestra que $ \text{Hom}\left( (G,\cdot) ; \left( \mathbb{Z}_7,+ \right) \right) =\{ 0\} $

Prueba la racionalidad del número $ \frac{1}{\pi }\int_{\sin\frac{\pi }{13}}^{\cos\frac{\pi }{13}} \sqrt{1-x^2} dx. $

Encuentra todas las funciones $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ para las cuales tenemos: \[|x-y|^2\le |f(x)-f(y)|\le |x-y|,\] para todo $x,y\in [0,1]$ .

Sean $A,B\in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ dos matrices no nulas tales que $AB+BA=O_2$ y $\det(A+B)=0$ . Prueba que $A$ y $B$ tienen trazas nulas.

Considera las matrices $A\in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})$ y $B\in \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{C})$ con $n\le m$ . Se da que $\text{rank}(AB)=n$ y $(AB)^2=AB$ .\na)Prueba que $(BA)^3=(BA)^2$ .\nb)Encuentra $BA$ .

a) Prueba que $\{x+y\}-\{y\}$ solo puede ser igual a $\{x\}$ o $\{x\}-1$ para cualquier $x,y\in \mathbb{R}$ .\nb) Sea $\alpha\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$ . Denota $a_n=\{n\alpha\}$ para todo $n\in \mathbb{N}^*$ y define la sucesión $(x_n)_{n\ge 1}$ por \[x_n=(a_2-a_1)(a_3-a_2)\cdot \ldots \cdot (a_{n+1}-a_n)\] Prueba que la sucesión $(x_n)_{n\ge 1}$ es convergente y encuentra su límite.

a) Muestra que, si $ a,b>1 $ son dos números reales distintos, entonces $ \log_a\log_a b >\log_b\log_a b. $\nb) Muestra que si $ a_1>a_2>\cdots >a_n>1 $ son $ n\ge 2 $ números reales, entonces $$ \log_{a_1}\log_{a_1} a_2 +\log_{a_2}\log_{a_2} a_3 +\cdots +\log_{a_{n-1}}\log_{a_{n-1}} a_n +\log_{a_n}\log_{a_n} a_1 >0. $$

Sean dos números complejos $ a,b. $ Muestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:\n$ \text{(i)} $ existen cuatro números $ x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb{C} $ tales que $ \big| x_1 \big| =\big| x_3 \big|, \big| x_2 \big| =\big| x_4 \big|, $ y $$ x_{j_1}^2-ax_{j_1}+b=0=x_{j_2}^2-bx_{j_2}+a,\quad\forall j_1\in\{ 1,2\} ,\quad\forall j_2\in\{ 3,4\} . $$\n$ \text{(ii)} a^3=b^3 $ o $ b=\overline{a} $ (el conjugado de a).

a) Muestra que si cuatro números complejos distintos tienen el mismo valor absoluto y su suma se anula, entonces representan un rectángulo.\nb) Sean $ x,y,z,t $ cuatro números reales, y $ k $ un entero. Prueba la siguiente implicación: $$ \sum_{j\in\{ x,y,z,t\}} \sin j = 0 = \sum_{j\in\{ x,y,z,t\}} \cos j\implies \sum_{j\in\{ x,y,z,t\}} \sin (1+2n)j. $$