Sea $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ una función continua. Demuestra que \[\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f(x^n) \ dx=f(0).\] Además, si $f(0)=0$ y $f$ es diferenciable por la derecha en $0{}$ , demuestra que los límites \[\lim_{\varepsilon\to0}\int_\varepsilon^1\frac{f(x)}{x} \ dx\quad\text{y}\quad\lim_{n\to\infty}\left(n\int_0^1f(x^n) \ dx\right)\] existen, son finitos y son iguales.

Sea $(G,\cdot)$ un grupo con elemento neutro $e{}$ , y sean $H{}$ y $K$ subgrupos propios de $G$ , que satisfacen $H\cap K=\{e\}$ . Se sabe que $(G\setminus(H\cup K))\cup\{e\}$ es cerrado bajo la operación de $G$ . Demuestra que $x^2=e$ para todos los elementos $x{}$ de $G{}$ .

Sea $f:[-\pi/2,\pi/2]\to\mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable que satisface \[\left(f''(x)-f(x)\right)\cdot\tan(x)+2f'(x)\geqslant 1,\] para todo $x\in(-\pi/2,\pi/2)$ . Demuestra que \[\int_{-\pi/2}^{\pi/2}f(x)\cdot \sin(x) \ dx\geqslant \pi-2.\]

Sean $A{}$ y $B{}$ matrices de $3\times 3{}$ con entradas complejas, que satisfacen $A^2=B^2=O_3$ . Demuestra que si $A{}$ y $B{}$ conmutan, entonces $AB=O_3$ . ¿Es cierto el recíproco?

Sea $f:[a,b]\to[a,b]$ una función continua. Se sabe que existen $\alpha,\beta\in (a,b)$ tales que $f(\alpha)=a$ y $f(\beta)=b$ . Demuestra que la función $f\circ f$ tiene al menos tres puntos fijos.

Sean $A{}$ y $B$ matrices invertibles de $n\times n$ con entradas reales. Supón que la inversa de $A+B^{-1}$ es $A^{-1}+B$ . Demuestra que $\det(AB)=1$ . ¿Se cumple esta propiedad para matrices de $2\times 2$ con entradas complejas?

Determina todas las funciones continuas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ para las cuales $f(1)=e$ y \[f(x+y)=e^{3xy}\cdot f(x)f(y),\] para todos los números reales $x{}$ e $y{}$ .

Determina todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que cualesquiera números reales $x{}$ e $y{}$ satisfacen \[f(xf(x)+f(y))=f(f(x^2))+y.\]

Sea $n\geqslant 2$ un entero. Determina todos los números complejos $z{}$ que satisfacen \[|z^{n+1}-z^n|\geqslant|z^{n+1}-1|+|z^{n+1}-z|. \]

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. En el arco menor $AB{}$ de su circumcírculo $\Omega$ , considera el punto $N{}$ tal que el arco menor $NB$ mide $30^\circ{}$ . Las perpendiculares desde $N{}$ a $AC$ y $AB$ intersecan $\Omega$ de nuevo en $P{}$ y $Q{}$ respectivamente. Sean $H_1,H_2$ y $H_3$ los ortocentros de los triángulos $NAB, QBC$ y $CAP$ respectivamente. Demuestra que el triángulo $NPQ$ es equilátero. Demuestra que el triángulo $H_1H_2H_3$ es equilátero.