Sea $f : R^+ \to R$ una función estrictamente creciente tal que $f\left(\frac{x+y}{2}\right) < \frac{f(x)+ f(y)}{2}$ para todo $x,y > 0$ . Demuestra que la sucesión $a_n = f(n)$ ( $n \in N$ ) no contiene una progresión aritmética infinita.

Sea $Y$ la familia de todos los subconjuntos de $X = \{1,2,...,n\}$ ( $n > 1$ ) y sea $f : Y \to X$ una función arbitraria. Demuestra que existen subconjuntos distintos $A,B$ de $X$ tales que $f(A) = f(B) = max A\triangle B$ , donde $A\triangle B = (A-B)\cup(B-A)$ .

Supón que cada una de las diagonales $AD,BE,CF$ divide al hexágono $ABCDEF$ en dos partes de la misma área y perímetro. ¿El hexágono necesariamente tiene un centro de simetría?

Si $ x^2 + y^2 + z^2 = 1993$ entonces demuestra que $ x + y + z$ no puede ser un cuadrado perfecto.

Encuentra el máximo número $A$ para el cual la siguiente desigualdad es verdadera: $\frac{x}{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}+\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\geq A$ donde $x,y,z$ son números reales positivos.

Demuestra que la ecuación $ (x+y)^n=x^m+y^m$ tiene una solución única en enteros con $ x>y>0$ y $ m,n>1$ .

Demuestra que el conjunto $\{1,2,....,2^n\}$ se puede particionar en dos clases, ninguna de las cuales contiene una progresión aritmética de longitud $2n$ .

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en el círculo $\mathcal{C}(O,R)$ y circunscrito al círculo $\mathcal{C}(L,r)$ . Denotemos $d=\dfrac{Rr}{R+r}$ . Demuestra que existe un triángulo $DEF$ tal que para cualquier punto interior $M$ en $ABC$ existe un punto $X$ en los lados de $DEF$ tal que $MX\le d$.

Considera la sucesión $z_n = (1+i)(2+i)...(n+i)$ . Demuestra que la sucesión $Im$ $z_n$ contiene infinitos números positivos e infinitos números negativos.

Considera las funciones $f,g,h:\mathbb{R}_{\geqslant 0}\to\mathbb{R}_{\geqslant 0}$ y la operación binaria $*:\mathbb{R}_{\geqslant 0}\times \mathbb{R}_{\geqslant 0}\to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$ definida como \[x*y=f(x)+g(y)+h(x)\cdot|x-y|,\] para todo $x,y\in\mathbb{R}_{\geqslant 0}$ . Supón que $(\mathbb{R}_{\geqslant 0},*)$ es un monoide conmutativo. Determina las funciones $f,g,h$ .