Encuentre todas las funciones $ f:[0,1]\longrightarrow [0,1] $ que sean biyectivas, continuas y tengan la propiedad de que, para cualquier función continua $ g:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} , $ se cumple la siguiente igualdad. $$ \int_0^1 g\left( f(x) \right) dx =\int_0^1 g(x) dx $$

Encuentre los números naturales $ n\ge 2 $ que tengan la propiedad de que el anillo de enteros módulo $ n $ tenga exactamente un elemento que no sea una suma de dos cuadrados.

a) Demuestre que el conjunto de nilpotentes de un anillo conmutativo finito es cerrado bajo cada una de las operaciones del anillo. b) Pruebe que el número de nilpotentes de un anillo conmutativo finito divide al número de divisores de cero del anillo.

Encuentre todas las funciones $ f\in\mathcal{C}^1 [0,1] $ que satisfagan $ f(1)=-1/6 $ y $$ \int_0^1 \left( f'(x) \right)^2 dx\le 2\int_0^1 f(x)dx. $$

Sea $ p\geq 5$ un número primo. Demuestra que para cualquier partición del conjunto $ P=\{1,2,3,...,p-1\}$ en $ 3$ subconjuntos existen números $ x,y,z$ cada uno perteneciente a un subconjunto distinto, tales que $ x+y\equiv z (mod p)$

Supón que $ D,E,F$ son puntos en los lados $ BC,CA,AB$ de un triángulo $ ABC$ respectivamente tales que $ BD=CE=AF$ y $ \angle BAD=\angle CBE=\angle ACF$ . Demuestra que el triángulo $ ABC$ es equilátero.

Define la sucesión ( $x_n$ ) de la siguiente manera: el primer término es $1$ , los siguientes dos son $2,4$ , los siguientes tres son $5,7,9$ , los siguientes cuatro son $10,12,14,16$ , y así sucesivamente. Expresa $x_n$ como una función de $n$ .

Para cada entero $n > 3$ encuentra todas las cuádruplas $(n_1,n_2,n_3,n_4)$ de enteros positivos con $n_1 +n_2 +n_3 +n_4 = n$ que maximizan la expresión $$\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!n_4!}2^{ {n_1 \choose 2}+{n_2 \choose 2}+{n_3 \choose 2}+{n_4 \choose 2}+n_1n_2+n_2n_3+n_3n_4}$$.

Encuentra todos los enteros $n > 1$ para los cuales existe un conjunto $B$ de $n$ puntos en el plano tales que para cualquier $A \in B$ existen tres puntos $X,Y,Z \in B$ con $AX = AY = AZ = 1$ .

Para enteros coprimos $m > n > 1$ considera los polinomios $f(x) = x^{m+n} -x^{m+1} -x+1$ y $g(x) = x^{m+n} +x^{n+1} -x+1$ . Si $f$ y $g$ tienen un divisor común de grado mayor que $1$ , encuentra este divisor.