Se dice que un entero positivo $n > 1$ tiene la propiedad ( $p$ ) si en su factorización prima $n = p_1^{a_1} \cdot ... \cdot p_j^{a_j}$ al menos uno de los factores primos $p_1, ... , p_j$ tiene el exponente igual a $2$. a) Encuentre el número más grande $k$ para el cual existen $k$ enteros positivos consecutivos que no tienen la propiedad ( $p$ ). b) Demuestre que hay un número infinito de enteros positivos $n$ tales que $n, n + 1$ y $n + 2$ tienen la propiedad ( $p$ ).

La medida del ángulo $\angle A$ del triángulo acutángulo $ABC$ es $60^o$, e $HI = HB$, donde $I$ y $H$ son el incentro y el ortocentro del triángulo $ABC$. Encuentre la medida del ángulo $\angle B$.

Consideramos un cuadrado de $n \times n$ ( $n \in N, n \ge 2$ ) dividido en $n^2$ cuadrados unitarios. Determine todos los valores de $k \in N$ para los cuales podemos escribir un número real en cada uno de los cuadrados unitarios de tal manera que la suma de los $n^2$ números sea un número positivo, mientras que la suma de los números de los cuadrados unitarios de cualquier cuadrado de $k \times k$ sea un número negativo.

a) Demuestre que si la suma de los dígitos no nulos $a_1, a_2, ... , a_n$ es un múltiplo de $27$, entonces es posible permutar estos dígitos para obtener un número de $n$ dígitos que es un múltiplo de $27$. b) Demuestre que si los dígitos no nulos $a_1, a_2, ... , a_n$ tienen la propiedad de que todo número de n dígitos obtenido al permutar estos dígitos es un múltiplo de $27$, entonces la suma de estos dígitos es un múltiplo de $27$

Determine a) el número más pequeño b) el número más grande $n \ge 3$ de enteros no negativos $x_1, x_2, ... , x_n$, teniendo la suma $2011$ y satisfaciendo: $x_1 \le | x_2 - x_3 | , x_2 \le | x_3 - x_4 | , ... , x_{n-2} \le | x_{n-1} -x_n | , x_{n-1} \le | x_n - x_1 |$ y $x_n \le | x_1 - x_2 | $ .

Considere $n$ personas, cada una de ellas hablando a lo sumo $3$ idiomas. De cada $3$ personas hay al menos dos que hablan un idioma común. i) Para $n \le 8$, exhiba un ejemplo en el que ningún idioma es hablado por más de dos personas. ii) Para $n \ge 9$, demuestre que existe un idioma que es hablado por al menos tres personas

Sean $k$ y $n$ números enteros con $2 \le k \le n - 1$. Considere un conjunto $A$ de $n$ números reales tal que la suma de cualesquiera $k$ elementos distintos de $A$ es un número racional. Demuestre que todos los elementos del conjunto $A$ son números racionales.

Sea n un entero positivo y sean $x_1, x_2,...,x_n$ e $y_1, y_2,...,y_n$ números reales. Demuestre que existe un número $i, i = 1, 2,...,n$, tal que $$\sum_{j=1}^n |x_i - x_j | \le \sum_{j=1}^n |x_i - y_j | $$

Sea $A_1A_2A_3A_4A_5$ un pentágono convexo. Suponga que los rayos $A_2A_3$ y $A_5A_4$ se encuentran en el punto $X_1$. Defina $X_2$, $X_3$, $X_4$, $X_5$ de manera similar. Demuestre que $$\displaystyle\prod_{i=1}^{5} X_iA_{i+2} = \displaystyle\prod_{i=1}^{5} X_iA_{i+3}$$ donde los índices se toman módulo 5.

Sea un entero positivo balanceado si el número de sus factores primos distintos es igual al número de sus dígitos en la representación decimal; por ejemplo, el número $385 = 5 \cdot 7 \cdot 11$ es balanceado, mientras que $275 = 5^2 \cdot 11$ no lo es. Demuestre que existe sólo un número finito de números balanceados.