Cada uno de los pequeños cuadrados de una tabla de $50\times 50$ está coloreado en rojo o azul. Inicialmente todos los cuadrados son rojos. Un paso significa cambiar el color de todos los cuadrados en una fila o en una columna. \na) Demuestra que no existe una secuencia de pasos, tal que al final haya exactamente $2011$ cuadrados azules. \nb) Describe una secuencia de pasos, tal que al final exactamente $2010$ cuadrados sean azules.

Sea $ABCD$ un rectángulo de centro $O$, tal que $\angle DAC=60^{\circ}$. La bisectriz de $\angle DAC$ se encuentra con $DC$ en $S$. Las líneas $OS$ y $AD$ se encuentran en $L$, y las líneas $BL$ y $AC$ se encuentran en $M$. Demuestra que las líneas $SM$ y $CL$ son paralelas.

Sea $S$ un subconjunto con $673$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots ,2010\}$. Demuestra que se pueden encontrar dos elementos distintos de $S$, digamos $a$ y $b$, tales que $6$ divide a $a+b$.

Demuestre que hay un número infinito de enteros positivos $t$ tales que ninguna de las ecuaciones $$ \begin{cases} x^2 + y^6 = t \ x^2 + y^6 = t + 1 \ x^2 - y^6 = t \ x^2 - y^6 = t + 1 \end{cases}$$ tiene soluciones $(x, y) \in Z \times Z$ .

a) Encuentre el valor más grande posible del número $x_1x_2 + x_2x_3 + ... + x_{n-1}x_n$, si $x_1, x_2, ... , x_n$ ( $n \ge 2$ ) son enteros no negativos y su suma es $2011$. b) Encuentre los números $x_1, x_2, ... , x_n$ para los cuales se obtiene el valor máximo determinado en a)

Sea $ ABC$ un triángulo con circuncentro $ O$. Los puntos $ P$ y $ Q$ son puntos interiores de los lados $ CA$ y $ AB$ respectivamente. Sean $ K,L$ y $ M$ los puntos medios de los segmentos $ BP,CQ$ y $ PQ$. respectivamente, y sea $ \Gamma$ el círculo que pasa por $ K,L$ y $ M$. Suponga que la línea $ PQ$ es tangente al círculo $ \Gamma$. Demuestre que $ OP = OQ.$

Para cada entero positivo $n$ sea $\tau (n)$ denota el número de sus factores positivos. Determine todos los $n \in N$ que satisfacen la igualdad $\tau (n) = \frac{n}{3}$

Sea $m$ un entero positivo. Determine el entero positivo más pequeño $n$ para el cual existen números reales $x_1, x_2,...,x_n \in (-1, 1)$ tales que $|x_1| + |x_2| +...+ |x_n| = m + |x_1 + x_2 + ... + x_n|$ .

Sea $ABC$ un triángulo, $I_a$ el centro del excírculo al lado $BC$, y $M$ su reflexión a través de $BC$. Demuestre que $AM$ es paralelo a la línea de Euler del triángulo $BCI_a$.

Encuentre todos los conjuntos finitos $A$ de números reales positivos que tienen al menos dos elementos, con la propiedad de que $a^2 + b^2 \in A$ para cada $a, b \in A$ con $a \ne b$