Sea $(a_n)_{n\ge0}$ una secuencia de números reales positivos tal que \[\sum_{k=0}^nC_n^ka_ka_{n-k}=a_n^2,\ \text{para cualquier }n\ge 0.\] Demuestra que $(a_n)_{n\ge0}$ es una secuencia geométrica.

Considera el conjunto $\mathcal{F}$ de funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ (donde $\mathbb{N}$ es el conjunto de enteros no negativos) que tienen la propiedad de que \[f(a^2-b^2)=f(a)^2-f(b)^2,\ \text{para todos los }a,b\in\mathbb{N},\ a\ge b.\] \na) Determina el conjunto $\{f(1)\mid f\in\mathcal{F}\}$. \nb) Demuestra que $\mathcal{F}$ tiene exactamente dos elementos.

Para cualquier entero $n\ge 2$ denotamos por $A_n$ el conjunto de soluciones de la ecuación \[x=\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{n}\right\rfloor .\] \na) Determina el conjunto $A_2\cup A_3$. \nb) Demuestra que el conjunto $A=\bigcup_{n\ge 2}A_n$ es finito y encuentra $\max A$.

Demuestra que hay una similitud entre un triángulo $ABC$ y el triángulo que tiene como lados las medianas del triángulo $ABC$ si y solo si los cuadrados de las longitudes de los lados del triángulo $ABC$ forman una secuencia aritmética.

En un triángulo $ABC$ denotamos por $D,E,F$ los puntos donde las bisectrices de $\angle CAB,\angle ABC,\angle BCA$ respectivamente se encuentran con su circuncírculo. \na) Demuestra que el ortocentro del triángulo $DEF$ coincide con el incentro del triángulo $ABC$. \nb) Demuestra que si $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=0$, entonces el triángulo $ABC$ es equilátero.

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos, y sea $p=a+b+c+d$. Demuestra que si $p$ es un primo, entonces $p$ no es un divisor de $ab-cd$.

Sea $VABCD$ una pirámide regular, que tiene la base cuadrada $ABCD$. Supón que en la línea $AC$ se encuentra un punto $M$ tal que $VM=MB$ y $(VMB)\perp (VAB)$. Demuestra que $4AM=3AC$.

¿Cuántos números de cuatro dígitos $\overline{abcd}$ satisfacen simultáneamente las igualdades $a+b=c+d$ y $a^2+b^2=c^2+d^2$?

Sean $a,b,c$ enteros mayores que $1$. Demuestra que \[a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\le (a+b+c-4)(a+b+c-5)+4.\]

En el triángulo isósceles $ABC$, con $AB=AC$, la bisectriz de $\angle B$ se encuentra con el lado $AC$ en $B'$. Supón que $BB'+B'A=BC$. Encuentra los ángulos del triángulo $ABC$.