Sea $G$ un grupo finito de orden $n$. Define el conjunto \[H=\{x:x\in G\text{ y }x^2=e\},\] donde $e$ es el elemento neutro de $G$. Sea $p=|H|$ la cardinalidad de $H$. Demuestra que \na) $|H\cap xH|\ge 2p-n$, para cualquier $x\in G$, donde $xH=\{xh:h\in H\}$. \nb) Si $p>\frac{3n}{4}$, entonces $G$ es conmutativo. \nc) Si $\frac{n}{2}<p\le\frac{3n}{4}$, entonces $G$ es no conmutativo.

Decimos que un anillo $A$ tiene la propiedad $(P)$ si cualquier elemento no nulo puede escribirse de forma única como la suma de un elemento invertible y un elemento no invertible. \na) Si en $A$, $1+1=0$, demuestra que $A$ tiene la propiedad $(P)$ si y solo si $A$ es un campo. \nb) Da un ejemplo de un anillo que no es un campo, que contiene al menos dos elementos, y que tiene la propiedad $(P)$.

Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función monótona y $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por \[F(x)=\int_0^xf(t)\ \text{d}t.\] Demuestra que si $F$ tiene una derivada finita, entonces $f$ es continua.

Sea $a\in \mathbb{R}_+$ y define la secuencia de números reales $(x_n)_n$ por $x_1=a$ y $x_{n+1}=\left|x_n-\frac{1}{n}\right|,\ n\ge 1$. Demuestra que la secuencia es convergente y encuentra su límite.

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow [0,\infty)$. Demuestra que $f(x+y)\ge (y+1)f(x),\ (\forall)x\in \mathbb{R}$ si y solo si la función $g:\mathbb{R}\rightarrow [0,\infty), \ g(x)=e^{-x}f(x), (\forall)x\in \mathbb{R}$ es creciente.

Sean $A,B,C\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tales que $ABC=O_n$ y $\text{rank}\ B=1$. Demuestra que $AB=O_n$ o $BC=O_n$.

Sean $a,b\in \mathbb{R}$ tales que $b>a^2$. Encuentra todas las matrices $A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ tales que $\det(A^2-2aA+bI_2)=0$.

En el exterior de un triángulo no equilátero $ABC$ considera los triángulos similares $ABM,BCN$ y $CAP$, tales que el triángulo $MNP$ es equilátero. Encuentra los ángulos de los triángulos $ABM,BCN$ y $CAP$.

En el plano se dan $100$ puntos, tales que no hay tres de ellos en la misma línea. Los puntos están dispuestos en $10$ grupos, cualquier grupo contiene al menos $3$ puntos. Dos puntos cualesquiera en el mismo grupo están unidos por un segmento. \na) Determina cuál de las posibles disposiciones en $10$ de tales grupos es la que da el número mínimo de triángulos. \nb) Demuestra que existe una disposición en tales grupos donde cada segmento puede ser coloreado con uno de tres colores dados y ningún triángulo tiene todos los lados del mismo color.

Considera $v,w$ dos números complejos no nulos distintos. Demuestra que \[|zw+\bar{w}|\le |zv+\bar{v}|,\] para cualquier $z\in\mathbb{C},|z|=1$, si y solo si existe $k\in [-1,1]$ tal que $w=kv$.