Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo recto en $C$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$ a $AB$. La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Sean $E$ y $F$ las reflexiones de $C$ en las líneas $C_1A_1$ y $C_1B_1$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ las reflexiones de $D$ en las líneas $C_1A_1$ y $C_1B_1$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $A_1EI$, $B_1FI$ y $C_1KL$ tienen un punto en común.

Sea $p\geq 3$ un entero positivo impar. Demuestra que $p$ es primo si y solo si como sea que elijamos $(p+1)/2$ enteros positivos distintos por pares, podemos encontrar dos de ellos, $a$ y $b$ , tales que $(a+b)/\gcd(a,b)\geq p.$

Sea dado un paralelogramo $ ABCD$ y dos puntos $ A_1$ , $ C_1$ en sus lados $ AB$ , $ BC$ , respectivamente. Las líneas $ AC_1$ y $ CA_1$ se encuentran en $ P$ . Asume que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ AA_1P$ y $ CC_1P$ se intersecan en el segundo punto $ Q$ dentro del triángulo $ ACD$ . Demuestra que $ \angle PDA = \angle QBA$ .

En una pizarra hay un polígono regular $A_1A_2\ldots A_{99}.$ Ana y Barbu ocupan alternativamente vértices vacíos del polígono y escriben triángulos en una lista: Ana solo escribe triángulos obtusos, mientras que Barbu solo escribe agudos. En el primer turno, Ana elige tres vértices $X,Y$ y $Z$ y escribe $\triangle XYZ.$ Entonces, Barbu elige dos de $X,Y$ y $Z,$ por ejemplo $X$ e $Y$ , y un vértice no elegido $T$ , y escribe $\triangle XYT.$ El juego continúa y en cada turno, el jugador debe elegir un nuevo vértice $R$ y escribir $\triangle PQR$ , donde $P$ es el último vértice elegido por el otro jugador, y $Q$ es uno de los otros vértices del último triángulo escrito por el otro jugador. Si un jugador no puede realizar un movimiento, entonces el otro gana. Si ambas personas juegan de manera óptima, determina quién tiene una estrategia ganadora.

Determina todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que todos los números reales $x$ e $y$ satisfacen \[f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y.\]

Para cada entero positivo $N\geq 2$ con factorización prima $N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ definimos \[f(N):=1+p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_ka_k.\] Sea $x_0\geq 2$ un entero positivo. Definimos la sucesión $x_{n+1}=f(x_n)$ para todo $n\geq 0.$ Demuestra que esta sucesión es eventualmente periódica y determina su período fundamental.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $O$ la intersección de sus diagonales. Sean $P,Q,R,$ y $S$ las proyecciones de $O$ sobre $AB,BC,CD,$ y $DA$ respectivamente. Demuestra que \[2(OP+OQ+OR+OS)\leq AB+BC+CD+DA.\]

Al principio, en una pizarra, el número $1$ está escrito $100$ veces. Cada minuto, elegimos un número $a$ de la pizarra, lo borramos y escribimos $a/3$ tres veces en su lugar. Decimos que un entero positivo $n$ es persistente si después de cualquier cantidad de tiempo, independientemente de los números que elijamos, podemos encontrar al menos $n$ números iguales en la pizarra. Encuentra el mayor número persistente.

Sea $M$ un conjunto finito de números reales que tiene las siguientes propiedades: $M$ tiene al menos $4$ elementos, y existe una función biyectiva $f:M\to M$ , diferente de la identidad, tal que $ab\leq f(a)f(b)$ para todo $a\neq b\in M.$ Demuestra que la suma de los elementos de $M$ es $0.$

Sea $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$ una función continua que tiene derivada finita en $0$, y \[I(h)=\int^h_{-h}f(x)\text{ d}x,\ h\in [0,1].\] Demuestra que \na) existe $M>0$ tal que $|I(h)-2f(0)h|\le Mh^2$, para cualquier $h\in [0,1]$. \nb) la secuencia $(a_n)_{n\ge 1}$, definida por $a_n=\sum_{k=1}^n\sqrt{k}|I(1/k)|$, es convergente si y solo si $f(0)=0$.