Sea $VA_1A_2\ldots A_n$ una pirámide, donde $n\ge 4$ . Un plano $\Pi$ interseca las aristas $VA_1,VA_2,\ldots, VA_n$ en los puntos $B_1,B_2,\ldots,B_n$ respectivamente, de tal manera que los polígonos $A_1A_2\ldots A_n$ y $B_1B_2\ldots B_n$ son similares. Demuestra que el plano $\Pi$ es paralelo al plano que contiene la base $A_1A_2\ldots A_n$ .

Sea $ABC$ un triángulo, $D$ un punto en el lado $BC$ , y sea $\mathcal{O}$ el circuncírculo del triángulo $ABC$ . Demuestra que los círculos tangentes a $\mathcal{O},AD,BD$ y a $\mathcal{O},AD,DC$ son tangentes entre sí si y sólo si $\angle BAD=\angle CAD$ .

Sea $n\ge 4$ un entero positivo y sea $M$ un conjunto de $n$ puntos en el plano, donde no hay tres puntos colineales y no todos los $n$ puntos son concíclicos. Encuentra todas las funciones reales $f:M\to\mathbb{R}$ tales que para cualquier círculo $\mathcal{C}$ que contenga al menos tres puntos de $M$ , se cumple la siguiente igualdad: \[\sum_{P\in\mathcal{C}\cap M} f(P)=0\]

Encuentra el número de conjuntos $A$ que contienen $9$ enteros positivos con la siguiente propiedad: para cualquier entero positivo $n\le 500$ , existe un subconjunto $B\subset A$ tal que $\sum_{b\in B}{b}=n$ .

Se da en el plano una línea $\ell$ y tres círculos con centros $A,B,C$ tales que todos son tangentes a $\ell$ y pairwise externamente tangentes entre sí. Demuestra que el triángulo $ABC$ tiene un ángulo obtuso y encuentra todos los valores posibles de este ángulo.

Para cada entero $n \geq 2$, sea $F(n)$ denote el mayor factor primo de $n$. Un par extraño es un par de primos distintos $p$ y $q$ tal que no existe un entero $n \geq 2$ para el cual $F(n)F(n+1)=pq$. Demostrar que existen infinitos pares extraños.

Un punto reticular en el plano cartesiano es un punto cuyas coordenadas son ambas enteras. Un polígono reticular es un polígono todos cuyos vértices son puntos reticulares. Sea $\Gamma$ un polígono reticular convexo. Demostrar que $\Gamma$ está contenido en un polígono reticular convexo $\Omega$ tal que los vértices de $\Gamma$ se encuentran todos en la frontera de $\Omega$, y exactamente un vértice de $\Omega$ no es un vértice de $\Gamma$.

Sea $\mathbb N$ el conjunto de todos los enteros positivos. Un subconjunto $A$ de $\mathbb N$ es libre de sumas si, siempre que $x$ e $y$ son (no necesariamente distintos) miembros de $A$, su suma $x+y$ no pertenece a $A$. Determinar todas las funciones sobreyectivas $f:\mathbb N\to\mathbb N$ tales que, para cada subconjunto $A$ de $\mathbb N$ libre de sumas, la imagen $\{f(a):a\in A\}$ también es libre de sumas. Nota: una función $f:\mathbb N\to\mathbb N$ es sobreyectiva si, para cada entero positivo $n$, existe un entero positivo $m$ tal que $f(m)=n$.

Sea $n\ge 3$ un entero. En un país hay $n$ aeropuertos y $n$ aerolíneas que operan vuelos de ida y vuelta. Para cada aerolínea, existe un entero impar $m\ge 3$, y $m$ aeropuertos distintos $c_1, \dots, c_m$, donde los vuelos ofrecidos por la aerolínea son exactamente aquellos entre los siguientes pares de aeropuertos: $c_1$ y $c_2$ ; $c_2$ y $c_3$ ; $\dots$ ; $c_{m-1}$ y $c_m$ ; $c_m$ y $c_1$ . Demostrar que existe una ruta cerrada que consta de un número impar de vuelos donde no hay dos vuelos operados por la misma aerolínea.

Sea $N \geq 2$ un entero, y sean $\mathbf a$ $= (a_1, \ldots, a_N)$ y $\mathbf b$ $= (b_1, \ldots b_N)$ sucesiones de enteros no negativos. Para cada entero $i \not \in \{1, \ldots, N\}$, sea $a_i = a_k$ y $b_i = b_k$, donde $k \in \{1, \ldots, N\}$ es el entero tal que $i-k$ es divisible por $n$. Decimos que $\mathbf a$ es $\mathbf b$ - armónica si cada $a_i$ es igual a la siguiente media aritmética: \[a_i = \frac{1}{2b_i+1} \sum_{s=-b_i}^{b_i} a_{i+s}.\] Supongamos que ni $\mathbf a$ ni $\mathbf b$ es una sucesión constante, y que tanto $\mathbf a$ es $\mathbf b$ - armónica como $\mathbf b$ es $\mathbf a$ - armónica. Demostrar que al menos $N+1$ de los números $a_1, \ldots, a_N,b_1, \ldots, b_N$ son cero.