Los vértices de un dodecágono regular están coloreados de azul o rojo. Encuentra el número de todos los coloreos posibles que no contienen sub-polígonos monocromáticos.

Sea $a>1$ un entero positivo. Demuestra que el conjunto de enteros \[\{a^2+a-1,a^3+a^2-1,\ldots ,a^{n+1}+a^n-1,\ldots\}\] contiene un subconjunto infinito de enteros pairwise coprimos.

Sean $P(X),Q(X)$ polinomios mónicos irreducibles con coeficientes racionales. Suponga que $P(X)$ y $Q(X)$ tienen raíces $\alpha$ y $\beta$ respectivamente, tales que $\alpha + \beta $ es racional. Demuestra que $P(X)^2-Q(X)^2$ tiene una raíz racional.

Sea $n\ge 2$ un entero y sea $P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_1X+1$ un polinomio con coeficientes enteros positivos. Suponga que $a_k=a_{n-k}$ para todo $k\in 1,2,\ldots,n-1$ . Demuestra que existen infinitos pares de enteros positivos $x,y$ tales que $x|P(y)$ e $y|P(x)$ .

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R}\to [0;+\infty)$ tales que: \[f(x^2+y^2)=f(x^2-y^2)+f(2xy)\] para todos los números reales $x$ e $y$ .

Sea $P$ el conjunto de puntos en el plano y $D$ el conjunto de líneas en el plano. Determina si existe una función biyectiva $f: P \rightarrow D$ tal que para cualquier terna de puntos colineales $A$ , $B$ , $C$ , las líneas $f(A)$ , $f(B)$ , $f(C)$ son paralelas o concurrentes.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo, y sean $P= AB \cap CD$ , $Q = CD \cap EF$ , $R = EF \cap AB$ , $S = BC \cap DE$ , $T = DE \cap FA$ , $U = FA \cap BC$ . Demuestra que $\frac{PQ}{CD} = \frac{QR}{EF} = \frac{RP}{AB}$ si y sólo si $\frac{ST}{DE} = \frac{TU}{FA} = \frac{US}{BC}$

Sean $p,q,r$ números primos distintos y sea \[A=\{p^aq^br^c\mid 0\le a,b,c\le 5\} \] Encuentra el menor $n\in\mathbb{N}$ tal que para cualquier $B\subset A$ donde $|B|=n$ , tiene elementos $x$ e $y$ tales que $x$ divide a $y$ .

Sea $p$ un número primo, $p \ge 5$ , y $k$ un dígito en la representación $p$ -ádica de los enteros positivos. Encuentra la longitud máxima de una progresión aritmética no constante cuyos términos no contienen el dígito $k$ en su representación $p$ -ádica.

Suponga que $A$ es el conjunto de todos los enteros positivos que se pueden escribir en la forma $a^2+2b^2$ (donde $a,b\in\mathbb {Z}$ y $b$ no es igual a $0$ ). Demuestra que si $p$ es un número primo y $p^2\in A$ entonces $p\in A$ .