Sean $r,n$ enteros positivos. Para un conjunto $A$ , sea ${A \choose r}$ denota la familia de todos los subconjuntos de $r$ - elementos de $A$ . Demuestra que si $A$ es infinito y $f : {A \choose r} \to {1,2,...,n}$ es cualquier función, entonces existe un subconjunto infinito $B$ de $A$ tal que $f(X) = f(Y)$ para todo $X,Y \in {B \choose r}$ .

Encuentra todos los pares $(m,n)$ de enteros ( $m >1,n \geq 3$ ) con la siguiente propiedad: Si un $n$ - gono puede ser particionado en $m$ triángulos isósceles, entonces el $n$ - gono tiene dos lados congruentes.

Encuentra todos los polinomios mónicos $P(x),Q(x)$ con coeficientes enteros tales que $Q(0) =0$ y $P(Q(x)) = (x-1)(x-2)...(x-15)$ .

Sea la secuencia ( $a_n$ ) definida por $a_n = n^6 +5n^4 -12n^2 -36, n \ge 2$ . (a) Demuestra que cualquier número primo divide algún término en esta secuencia. (b) Demuestra que hay un entero positivo que no divide ningún término en la secuencia. (c) Determina el menor $n \ge 2$ para el cual $1989 | a_n$ .

Un ciclo laticial de longitud $n$ es una secuencia de puntos de la red $(x_k, y_k)$ , $k = 0, 1,\cdots, n$ , tal que $(x_0, y_0) = (x_n, y_n) = (0, 0)$ y $|x_{k+1} -x_{k}|+|y_{k+1} - y_{k}| = 1$ para cada $k$ . Demuestra que para todo $n$ , el número de ciclos laticiales de longitud $n$ es un cuadrado perfecto.

Una familia de conjuntos finitos $\left\{ A_{1},A_{2},.......,A_{m}\right\} $ es llamada equiparticionable si existe una función $\varphi:\cup_{i=1}^{m}$ $\rightarrow\left\{ -1,1\right\} $ tal que $\sum_{x\in A_{i}}\varphi\left(x\right)=0$ para cada $i=1,.....,m.$ Sea $f\left(n\right)$ denota el número más pequeño posible de conjuntos de $n$ elementos que forman una familia no equiparticionable. Demuestra que a) $f(4k +2) = 3$ para cada entero no negativo $k$ , b) $f\left(2n\right)\leq1+m d\left(n\right)$ , donde $m d\left(n\right)$ denota el menor no divisor positivo de $n.$

Sea $ABCD$ un paralelogramo y $M,N$ puntos en el plano tales que $C \in (AM)$ y $D \in (BN)$ . Las líneas $NA,NC$ se encuentran con las líneas $MB,MD$ en los puntos $E,F,G,H$ . Muestra que los puntos $E,F,G,H$ yacen en un círculo si y solo si $ABCD$ es un rombo.

Sea $P$ un punto en un círculo $C$ y sea $\phi$ un ángulo dado inconmensurable con $2\pi$ . Para cada $n \in N, P_n$ denota la imagen de $P$ bajo la rotación sobre el centro $O$ de $C$ por el ángulo $\alpha_n = n \phi$ . Demuestra que el conjunto $M = \{P_n | n \ge 0\}$ es denso en $C$ .

Sea $M$ el conjunto de matrices de $m \times n$ con entradas en el conjunto $\{0,1,2,3,4\}$ tal que en cada fila y cada columna la suma de los elementos es divisible por $5$ . Encuentra la cardinalidad del conjunto $M$ .

Sea $w$ un círculo y $AB$ una línea que no interseca a $w$ . Dado un punto $P_{0}$ en $w$ , define la secuencia $P_{0},P_{1},\ldots $ como sigue: $P_{n+1}$ es la segunda intersección con $w$ de la línea que pasa por $B$ y la segunda intersección de la línea $AP_{n}$ con $w$ . Demuestra que para un entero positivo $k$ , si $P_{0}=P_{k}$ para alguna elección de $P_{0}$ , entonces $P_{0}=P_{k}$ para cualquier elección de $P_{0}$ .