Probar que para cualquier entero positivo $n$ , el número \[ S_n = {2n+1\choose 0}\cdot 2^{2n}+{2n+1\choose 2}\cdot 2^{2n-2}\cdot 3 +\cdots + {2n+1 \choose 2n}\cdot 3^n \] es la suma de dos cuadrados perfectos consecutivos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las bisectrices de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ACB$ se encuentran con los lados opuestos en $L$ y $M$ respectivamente. Probar que existe un punto $K$ en el interior del lado $BC$ tal que el triángulo $KLM$ es equilátero si y sólo si $\angle BAC = 60^\circ$.

Probar que es posible elegir un número de 39 enteros positivos consecutivos, tal que la suma de sus dígitos sea divisible por 11; b) Encontrar los primeros 38 enteros positivos consecutivos ninguno de los cuales tiene la suma de sus dígitos divisible por 11.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo. La bisectriz del ángulo $\angle ABC$ interseca a la altura $AD$ en $K$. Sea $M$ la proyección de $B$ sobre $CK$ y sea $N$ la intersección entre $BM$ y $AK$. Sea $T$ un punto en $AC$ tal que $NT$ es paralelo a $DM$. Demuestre que $BM$ es la bisectriz del ángulo $\angle TBC$.

¿De cuántas maneras podemos marcar celdas en un tablero de $n\times n$ de tal manera que no haya dos filas y no haya dos columnas que tengan el mismo número de celdas marcadas?

Sea $a$ un entero positivo y $(a_n)_{n\geqslant 1}$ una sucesión de enteros positivos que satisfacen $a_n<a_{n+1}\leqslant a_n+a$ para todo $n\geqslant 1$. Demuestre que hay infinitos primos que dividen al menos un término de la sucesión.

La sucesión $(x_n)_{n\geqslant 0}$ se define como sigue: $x_0=1, x_1=2$ y $x_{n+1}=4x_n-x_{n-1}$, para todo $n\geqslant 1$. Determine todos los términos de la sucesión que son cuadrados perfectos.

Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que $n^2 + n + 1$ no puede escribirse como el producto de dos enteros positivos cuya diferencia es menor que $2\sqrt{n}$.

Se da un triángulo acutángulo $ABC$ en el que $AB<AC$. La bisectriz de $\angle BAC$ cruza $BC$ en $D$. El punto $M$ es el punto medio de $BC$. Demuestre que la línea que pasa por los centros de las circunferencias exinscritas a los triángulos $ABC$ y $ADM$ es paralela a $AD$.

Determine el mayor entero positivo $A{}$ con la siguiente propiedad: comoquiera que coloquemos los números $1,2,\ldots, 100$ en un tablero de $10\times 10$, apareciendo cada número exactamente una vez, podemos encontrar dos números en la misma fila o columna que difieran en al menos $A{}$.