Sea $n\geq 3$ y $A_1,A_2,\ldots,A_n$ puntos en un círculo. Encontrar el número más grande de triángulos acutángulos que pueden ser considerados con vértices en estos puntos.

Dos círculos se intersecan en dos puntos $A$ y $B$ . Una línea $\ell$ que pasa por el punto $A$ se encuentra con los dos círculos de nuevo en los puntos $C$ y $D$ , respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los arcos $BC$ y $BD$ (que no contienen el punto $A$ ) en los respectivos círculos. Sea $K$ el punto medio del segmento $CD$ . Demostrar que $\measuredangle MKN = 90^{\circ}$ .

Sean $a,n$ números enteros, $p$ un número primo tal que $p>|a|+1$ . Demostrar que el polinomio $f(x)=x^n+ax+p$ no puede ser representado como un producto de dos polinomios enteros.

Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un entero $m$ tal que ${2^{n}-1}$ es un divisor de ${m^{2}+9}$ .

Sean $O,A,B,C$ puntos variables en el plano tales que $OA=4$ , $OB=2\sqrt3$ y $OC=\sqrt {22}$ . Encontrar el valor máximo del área $ABC$ .

Sea $a$ un número real positivo y $\{x_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números reales tal que $x_1=a$ y \[ x_{n+1} \geq (n+2)x_n - \sum^{n-1}_{k=1}kx_k, \ \forall \ n\geq 1. \] Demostrar que existe un entero positivo $n$ tal que $x_n > 1999!$ .

Demostrar que para cualquier entero $n$ , $n\geq 3$ , existen $n$ enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ en progresión aritmética, y $n$ enteros positivos en progresión geométrica $b_1,b_2,\ldots,b_n$ tal que \[ b_1 < a_1 < b_2 < a_2 <\cdots < b_n < a_n . \] Dar un ejemplo de dos progresiones tales que tengan al menos cinco términos.

Sea $ABC$ un triángulo, $H$ su ortocentro, $O$ su circuncentro, y $R$ su circunradio. Sea $D$ la reflexión del punto $A$ a través de la línea $BC$ , sea $E$ la reflexión del punto $B$ a través de la línea $CA$ , y sea $F$ la reflexión del punto $C$ a través de la línea $AB$ . Demostrar que los puntos $D$ , $E$ y $F$ son colineales si y sólo si $OH=2R$ .

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ enteros positivos distintos. Demostrar que \[ x_1^2+x_2^2 + \cdots + x_n^2 \geq \frac {2n+1}3 ( x_1+x_2+\cdots + x_n). \]

Demostrar que para todos los números reales positivos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ con producto 1, la siguiente desigualdad se cumple \[ \frac 1{n-1+x_1 } +\frac 1{n-1+x_2} + \cdots + \frac 1{n-1+x_n} \leq 1. \]