Sea $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ una función tal que $\frac{x^3+3x^2f(y)}{x+f(y)}+\frac{y^3+3y^2f(x)}{y+f(x)}=\frac{(x+y)^3}{f(x+y)},~(\forall)x,y\in\mathbb{N}^*.$ $a)$ Demuestra que $f(1)=1.$ $b)$ Encuentra la función $f.$

Un polinomio $P$ con coeficientes enteros es libre de cuadrados si no se puede expresar en la forma $P = Q^2R$, donde $Q$ y $R$ son polinomios con coeficientes enteros y $Q$ no es constante. Para un entero positivo $n$, sea $P_n$ el conjunto de polinomios de la forma \n$$1 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$$\ncon $a_1,a_2,\ldots, a_n \in \{0,1\}$. Demuestre que existe un entero $N$ tal que para todos los enteros $n \geq N$, más del $99\%$ de los polinomios en $P_n$ son libres de cuadrados.

Sea $BC$ un segmento fijo en el plano, y sea $A$ un punto variable en el plano que no está en la línea $BC$. Se eligen puntos distintos $X$ e $Y$ en los rayos $CA^\to$ y $BA^\to$, respectivamente, tales que $\angle CBX = \angle YCB = \angle BAC$. Suponga que las tangentes a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $B$ y $C$ se encuentran con la línea $XY$ en $P$ y $Q$, respectivamente, de tal manera que los puntos $X$, $P$, $Y$ y $Q$ son distintos por pares y se encuentran en el mismo lado de $BC$. Sea $\Omega_1$ el círculo que pasa por $X$ y $P$ centrado en $BC$. Del mismo modo, sea $\Omega_2$ el círculo que pasa por $Y$ y $Q$ centrado en $BC$. Demuestre que $\Omega_1$ y $\Omega_2$ se intersecan en dos puntos fijos a medida que varía $A$.

Fije enteros $a$ y $b$ mayores que $1$. Para cualquier entero positivo $n$, sea $r_n$ el residuo (no negativo) que $b^n$ deja al dividirlo por $a^n$. Suponga que existe un entero positivo $N$ tal que $r_n < \frac{2^n}{n}$ para todos los enteros $n\geq N$. Demuestre que $a$ divide a $b$.

Dado un entero positivo $n$, una colección $\mathcal{S}$ de $n-2$ ternas no ordenadas de enteros en $\{1,2,\ldots,n\}$ es $n$ - admisible si para cada $1 \leq k \leq n - 2$ y cada elección de $k$ distintos $A_1, A_2, \ldots, A_k \in \mathcal{S}$ tenemos \n$$\n\left|A_1 \cup A_2 \cup \cdots A_k \right| \geq k+2.\n$$\n¿Es cierto que para todo $n > 3$ y para cada colección $n$ - admisible $\mathcal{S}$, existen puntos $P_1, \ldots , P_n$ por pares distintos en el plano tales que los ángulos del triángulo $P_iP_jP_k$ son todos menores que $61^{\circ}$ para cualquier terna $\{i, j, k\}$ en $\mathcal{S}$?

Considere un primo impar $p$ y un entero positivo $N < 50p$. Sea $a_1, a_2, \ldots , a_N$ una lista de enteros positivos menores que $p$ tal que cualquier valor específico ocurre a lo sumo $\frac{51}{100}N$ veces y $a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ no es divisible por $p$. Demuestre que existe una permutación $b_1, b_2, \ldots , b_N$ de los $a_i$ tal que, para todo $k = 1, 2, \ldots , N$, la suma $b_1 + b_2 + \cdots + b_k$ no es divisible por $p$.

Sea $n$ un entero positivo. Inicialmente, un alfil se coloca en cada casilla de la fila superior de un tablero de ajedrez de $2^n \times 2^n$; esos alfiles están numerados de $1$ a $2^n$ de izquierda a derecha. Un salto es un movimiento simultáneo realizado por todos los alfiles de tal manera que cada alfil se mueve diagonalmente, en línea recta, un cierto número de casillas, y al final del salto, todos los alfiles se encuentran en diferentes casillas de la misma fila. Encuentre el número total de permutaciones $\sigma$ de los números $1, 2, \ldots, 2^n$ con la siguiente propiedad: Existe una secuencia de saltos tal que todos los alfiles terminan en la fila inferior dispuestos en el orden $\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(2^n)$, de izquierda a derecha.

Se da un poliedro $P$ en el espacio. Encontrar si existen tres aristas en $P$ que puedan ser los lados de un triángulo. ¡Justificar su respuesta!

Sea $X$ un conjunto con $n$ elementos, y sean $A_{1}$ , $A_{2}$ , ..., $A_{m}$ subconjuntos de $X$ tales que: 1) $|A_{i}|=3$ para cada $i\in\left\{1,2,...,m\right\}$ ; 2) $|A_{i}\cap A_{j}|\leq 1$ para todo $i,j\in\left\{1,2,...,m\right\}$ tal que $i \neq j$ . Demostrar que existe un subconjunto $A$ de $X$ tal que $A$ tiene al menos $\left[\sqrt{2n}\right]$ elementos, y para cada $i\in\left\{1,2,...,m\right\}$ , el conjunto $A$ no contiene a $A_{i}$ . Formulación alternativa. Sea $X$ un conjunto finito con $n$ elementos y $A_{1},A_{2},\ldots, A_{m}$ subconjuntos de tres elementos de $X$ , tales que $|A_{i}\cap A_{j}|\leq 1$ , para cada $i\neq j$ . Demostrar que existe $A\subseteq X$ con $|A|\geq \lfloor \sqrt{2n}\rfloor$ , tal que ninguno de los $A_{i}$ 's es un subconjunto de $A$ .

Los participantes a una conferencia internacional son científicos nativos y extranjeros. Cada científico nativo envía un mensaje a un científico extranjero y cada científico extranjero envía un mensaje a un científico nativo. Hay científicos nativos que no recibieron un mensaje. Demostrar que existe un conjunto $S$ de científicos nativos tal que los científicos externos a $S$ son exactamente aquellos que recibieron mensajes de aquellos científicos extranjeros que no recibieron mensajes de científicos pertenecientes a $S$ .