Sea $(x_n)_{n\geq 1}$ la secuencia definida recursivamente como: \[x_1=1, \ x_{n+1}=\frac{x_1}{n+1}+\frac{x_2}{n+2}+\cdots+\frac{x_n}{2n} \ \forall n\geq 1.\] Considera la secuencia $(y_n)_{n\geq 1}$ tal que $y_n=(x_1^2+x_2^2+\cdots x_n^2)/n$ para todo $n\geq 1.$ Demuestra que $x_{n+1}^2<y_n/2$ y $y_{n+1}<(2n+1)/(2n+2)\cdot y_n$ para todo $n\geq 1;$ $\lim_{n\to\infty}x_n=0.$

Sean $A,B\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ matrices tales que $A^2+B^2=O_3.$ Demuestra que $\det(aA+bB)=0$ para cualquier número real $a$ y $b.$

Sean $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funciones que satisfacen \[\inf_{x>a}f(x)=g(a)\text{ y }\sup_{x<a}g(x)=f(a),\] para todo $a\in\mathbb{R}.$ Dado que $f$ tiene la Propiedad de Darboux (propiedad del valor intermedio), muestra que las funciones $f$ y $g$ son continuas e iguales entre sí.

Sea $I\subseteq \mathbb{R}$ un intervalo abierto y $f:I\to\mathbb{R}$ una función estrictamente monótona. Demuestra que para todo $c\in I$ existen $a,b\in I$ tales que $c\in (a,b)$ y \[\int_a^bf(x) \ dx=f(c)\cdot (b-a).\]

Encuentra todos los valores de $n\in\mathbb{N}^*$ para los cuales \[I_n:=\int_0^\pi\cos(x)\cdot\cos(2x)\cdot\ldots\cdot\cos(nx) \ dx=0.\]

Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H\neq G$ un subgrupo tal que $x^2=y^2$ para todo $x,y\in G\setminus H.$ Muestra que $(H,\cdot)$ es un grupo abeliano.

Sea $e$ la identidad del monoide $(M,\cdot)$ y $a\in M$ un elemento invertible. Demuestra que El conjunto $M_a:=\{x\in M:ax^2a=e\}$ no está vacío; Si $b\in M_a$ es invertible, entonces $b^{-1}\in M_a$ si y solo si $a^4=e$ ; Si $(M_a,\cdot)$ es un monoide, entonces $x^2=e$ para todo $x\in M_a.$

Llamamos a un conjunto de $6$ puntos en el plano divisible si podemos denotar sus elementos por $A,B,C,D,E$ y $F$ de tal manera que $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ tengan el mismo centroide. Construye un conjunto divisible. Muestra que cualquier conjunto de $7$ puntos tiene un subconjunto de $6$ puntos que no es divisible.

$a)$ Resuelve sobre los enteros positivos $3^x=x+2.$ $b)$ Encuentra pares $(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tales que $(x+3^y)$ y $(y+3^x)$ son consecutivos.

$a)$ Demuestra que $2x^3-3x^2+1\geq 0,~(\forall)x\geq0.$ $b)$ Sean $x,y,z\geq 0$ tales que $\frac{2}{1+x^3}+\frac{2}{1+y^3}+\frac{2}{1+z^3}=3.$ Demuestra que $\frac{1-x}{1-x+x^2}+\frac{1-y}{1-y+y^2}+\frac{1-z}{1-z+z^2}\geq 0.$