Sea $ ABCD $ un cuadrado y $ E $ un punto situado en el segmento $ BD, $ pero no en el punto medio. Denotemos por $ H $ y $ K $ los ortocentros de $ ABE, $ respectivamente, $ ADE. $ Muestre que $ \overrightarrow{BH}=\overrightarrow{KD} . $

Sea $ ABCDA’B’C’D’ $ un paralelepípedo recto y $ M,N $ los pies de las perpendiculares de $ BD $ a través de $ A’, $ respectivamente, $ C’. $ Se sabe que $ AB=\sqrt 2, BC=\sqrt 3, AA’=\sqrt 2. $ a) Pruebe que $ A’M\perp C’N. $ b) Calcule el ángulo diedro entre el plano formado por $ A’MC $ y el plano formado por $ ANC’. $

a) Pruebe que, para cualquier entero $ k, $ la ecuación $ x^3-24x+k=0 $ tiene como máximo una solución entera. b) Muestre que la ecuación $ x^3+24x-2016=0 $ tiene exactamente una solución entera.

Para cualquier número natural $ n, $ denote $ x_n $ como el número de números naturales de $ n $ dígitos que son divisibles por $ 4 $ y formados solo con los dígitos $ 0,1,2 $ o $ 6. $ a) Calcule $ x_1,x_2,x_3,x_4. $ b) Encuentre el número natural $ m $ tal que $$ 1+\left\lfloor \frac{x_2}{x_1}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{x_3}{x_2}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{x_4}{x_3}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor \frac{x_{m+1}}{x_m}\right\rfloor =2016 , $$ donde $ \lfloor\rfloor $ es la parte entera usual.

Sea una pirámide que tiene un cuadrado como su base y la proyección del vértice superior a la base es el centro del cuadrado. Pruebe que dos caras opuestas son perpendiculares si y sólo si el ángulo entre dos caras adyacentes es $ 120^{\circ } . $

Considere el triángulo $ ABC $ con $ \angle BAC>60^{\circ } $ y $ \angle BCA>30^{\circ } . $ En el semiplano que no es el determinado por $ BC $ y $ A $ tenemos los puntos $ D $ y $ E $ tal que $$ \angle ABE =\angle CBD =\angle BAE +30^{\circ } =\angle BCD +30^{\circ } =90^{\circ } . $$ Denote por $ F,H $ los puntos medios de $ AE, $ respectivamente, $ CD, $ y con $ G $ la intersección de $ AC $ y $ DE. $ Demuestre: a) $ EBD\sim ABC $ b) $ FGH\equiv ABC $

Sea un triángulo $ ABC $ con $ \angle BAC = 90^{\circ } . $ En la perpendicular de $ BC $ a través de $ B, $ considere $ D $ tal que $ AD=BC. $ Encuentre $ \angle BAD. $

Demostrar que: $$ 2015\in\left\{ x_1+2x_2+3x_3\cdots +2015x_{2015}\big| x_1,x_2,\ldots ,x_{2015}\in \{ -2,3\}\right\}\not\ni 2016. $$

Resolver en $ \mathbb{N}^2: $ $$ x+y=\sqrt x+\sqrt y+\sqrt{xy} . $$

Sea $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ donde $n\geq 2.$ Demuestra que si $m=|\{\text{rango}(A^k)-\text{rango}(A^{k+1})':k\in\mathbb{N}^*\}|$ entonces $n+1\geq m(m+1)/2.$