Encuentre las funciones continuas $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ que tienen la siguiente propiedad: $$ f\left( x+\frac{1}{n}\right) \le f(x) +\frac{1}{n},\quad\forall n\in\mathbb{Z}^* ,\quad\forall x\in\mathbb{R} . $$

Sean A,B,C,D cuatro matrices de orden n con entradas complejas, n>=2 y sea k un número real tal que AC+kBD=I y AD=BC. Demuestre que CA+kDB=I y DA=CB.

Sea $ A\in M_2\left( \mathbb{C}\right) $ tal que $ \det \left( A^2+A+I_2\right) =\det \left( A^2-A+I_2\right) =3. $ Pruebe que $ A^2\left( A^2+I_2\right) =2I_2. $

a) Pruebe que no todas las funciones $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ que satisfacen la igualdad $$ f(x-1)+f(x+1) =\sqrt 5f(x) ,\quad\forall x\in\mathbb{R} , $$ son periódicas. b) Pruebe que todas las funciones $ g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ que satisfacen la igualdad $$ g(x-1)+g(x+1)=\sqrt 3g(x) ,\quad\forall x\in\mathbb{R} , $$ son periódicas.

Sean $ \alpha ,\beta $ números reales. Encuentre el mayor valor de la expresión $$ |\alpha x +\beta y| +|\alpha x-\beta y| $$ en cada uno de los siguientes casos: a) $ x,y\in \mathbb{R} $ y $ |x|,|y|\le 1 $ b) $ x,y\in \mathbb{C} $ y $ |x|,|y|\le 1 $

Sean $ a,b,c\in\mathbb{C}^* $ distintos por pares, que tienen el mismo valor absoluto y satisfacen: $$ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0. $$ Pruebe que $ a,b,c $ representan las afijas de los vértices de un triángulo rectángulo o equilátero.

Resuelva en el intervalo $ (2,\infty ) $ la siguiente ecuación: $$ 1=\cos\left( \pi\log_3 (x+6)\right)\cdot\cos\left( \pi\log_3 (x-2)\right) . $$

Sea $ a\ge 2 $ un número natural. Muestre que las siguientes relaciones son equivalentes: $ \text{(i)} \ a $ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados son números naturales. $ \text{(ii)}\quad $ existe un número natural $ d $ para el cual los polinomios $ X^2-aX\pm d $ tienen raíces enteras.

Sean números reales no negativos $ a,b,c, $ que cumplen la desigualdad: $ \sum_{\text{cyc}} \frac{a}{b+c+1} \le 1. $ Pruebe que $ \sum_{\text{cyc}} \frac{1}{b+c+1} \ge 1. $

Si $ a,n $ son dos números naturales correlacionados por la ecuación $ \left\{ \sqrt{n+\sqrt n}\right\} =\left\{ \sqrt a\right\} , $ entonces $ 1+4a $ es un cuadrado perfecto. Justifique esta afirmación. Aquí, $ \{\} $ es la parte fraccionaria usual.