En un tablero de $4 imes 4$ como el que se muestra abajo a la izquierda se van a colocar fichas como la que se muestra a su lado, en cualquier posición, de manera que cada ficha tape exactamente 3 de los cuadritos de la cuadrícula. Llamamos nivel a cualquier colocación de las fichas en la que ya no quepa ninguna ficha más, como la colocación que se muestra abajo a la derecha. ¿Cuál es el menor número de niveles necesarios para que cada cuadrito del tablero tenga encima de él exactamente 60 fichas? [image]

Digamos que un número entero $n$ es partible si se puede poner como la suma de $n$ enteros y también como el producto de esos mismos $n$ enteros. Por ejemplo, el número $12$ es partible pues $$12 = 6 imes (-2) imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes (-1)$$$$= 6 + (-2) + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + (-1).$$ Demostrar que el número $2015$ no es partible, es decir, que no existen enteros $a_1, a_2, \\ldots , a_{2015}$ tales que las dos expresiones siguientes den como resultado $2015$: $$a_1 imes a_2 imes \\cdots imes a_{2015}$$$$a_1 + a_2 + \\cdots + a_{2015}.$$

Una hoja de papel rectangular $ABCD$ se dobla de manera que el vértice $B$ queda ubicado en el punto $B'$ sobre el lado $AD$, como se muestra en la figura (y $C$ queda en $C'$). Sean $E$ y $F$ los extremos del segmento determinado por el doblez, con $E$ sobre $AB$ y $F$ sobre $CD$. Sea $G$ el punto de intersección de $B'C'$ y $CD$. Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $G$ hasta $FE$. Sea $I$ el punto donde la bisectriz del ángulo $\angle AEB'$ intersecta $AD$. Demostrar que $$\frac{GH}{CF} = \frac{EB}{EI}.$$ [image]

En la cuadrícula de abajo, cada cuadrito es de $1 imes 1$. ¿Cuántos caminos de longitud $9$ hay de $P$ a $Q$ que usen las líneas de la figura pero que no pasen dos veces por un mismo punto? [image]

Sea $ABCDE$ un pentágono regular. Sobre el lado $AE$ se construye el triángulo equilátero $AFE$, hacia afuera del pentágono. Sea $P$ un punto en el segmento $BF$ (en el interior del pentágono) de tal forma que $\angle AEP = 12°$. Calcular el valor de $\angle CAP$. [image]

Sea $ ABC $ un triángulo acutángulo. Sean $ D, E $ y $ F $ los respectivos pies de las alturas en $ A, B $ y $ C $. Sean $ D', E', F' $, puntos sobre los segmentos $ BC, CA $ y $ AB $ (respectivamente) tales que $ |BD| = |D'C'|, |CE| = |E'A| $ y $ |AF| = |F'B| $. Probar que son concurrentes las perpendiculares a $ BC $ en $ D' $, a $ CA $ en $ E' $ y a $ AB $ en $ F' $.

Un triángulo equilátero de lado 7 se divide en triángulos equiláteros de lado 1 (ver la figura). Se pintan todos los vértices de los triángulos usando los colores rojo, verde y azul de manera que cada triangulito de lado 1 tiene un vértice de cada color. Probar que si se eligen segmentos (de lado 1) de manera que cada vértice pertenece a exactamente un segmento, entonces el número de segmentos elegidos que van de un vértice rojo a uno azul es el mismo que el número de segmentos que van de un vértice rojo a uno verde. [image]

El entero positivo $ n $ y el primo $ p $ cumplen que $ p $ no divide a $ (3n)! $ pero sí divide a $ (3n + 1)! + (3n + 2)! $. Mostrar que $ 3 $ divide a $ p - 1 $.

Probar que si $ a, b, c $ y $ d $ son números reales positivos, entonces $ 4a^2 + 2b^4 + c^8 + d^8 \\geq 8abcd $.

Un cuadrilátero cíclico $ABCD$ es tal que las cuerdas $AD$ y $BC$ son paralelas, $|AD| < |BC|$ y el centro del circuncírculo de $ABCD$ queda en el exterior del cuadrilátero. Sean $E $ la intersección de las rectas $AB$ y $CD$, $F$ el pie de la altura de $EBO$ en $E$ y $G$ la intersección de $EF$ con $BC$. Demostrar que $AGC$ es cíclicos.