La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 13 de sep. de 2010, 3:55 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $O$ un punto en el plano euclidiano orientado y $(\mathbf i, \mathbf j)$ una base ortonormal directamente orientada. Sea $C$ el círculo de radio $1$, centrado en $O$. Para cada número real $t$ y entero no negativo $n$, sea $M_n$ el punto en $C$ para el cual $\langle \mathbf i , \overrightarrow{OM_n} \rangle = \cos 2^n t$ (o $\overrightarrow{OM_n} =\cos 2^n t \mathbf i +\sin 2^n t \mathbf j$). Sea $k \geq 2$ un entero. Encuentre todos los números reales $t \in [0, 2\pi)$ que satisfacen (i) $M_0 = M_k$, y (ii) si uno parte de $M_0$ y recorre una vez el círculo $C$ en la dirección positiva, se encuentran sucesivamente los puntos $M_0,M_1, \dots,M_{k-2},M_{k-1}$, en este orden. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 3:38 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Fatemeh06 Una sucesión de polinomios $P_m(x, y, z), m = 0, 1, 2, \cdots$ , en $x, y$ y $z$ está definida por $P_0(x, y, z) = 1$ y por \[P_m(x, y, z) = (x + z)(y + z)P_{m-1}(x, y, z + 1) - z^2P_{m-1}(x, y, z)\] para $m > 0$ . Demuestre que cada $P_m(x, y, z)$ es simétrico, en otras palabras, que no se altera ante ninguna permutación de $x, y, z.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Pascual2005 1160 publicaciones Pascual2005 #1 h 6 de junio de 2005, 8:39 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a,b,c$ enteros tales que $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$, ¡demuestre que $abc$ es un cubo perfecto! Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 19 de nov. de 2005, 6:04 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Para tres puntos $A,B,C$ en el plano, definimos $m(ABC)$ como la longitud más pequeña de las tres alturas del triángulo $ABC$, donde en el caso de que $A$, $B$, $C$ sean colineales, establecemos $m(ABC) = 0$. Sean $A$, $B$, $C$ puntos dados en el plano. Demuestre que para cualquier punto $X$ en el plano, \[ m(ABC) \leq m(ABX) + m(AXC) + m(XBC). \] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 13 de sep. de 2010, 3:51 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre ocho enteros positivos $n_1, n_2, \dots , n_8$ con la siguiente propiedad: Para todo entero $k$, $-1985 \leq k \leq 1985$, existen ocho enteros $a_1, a_2, \dots, a_8$, cada uno perteneciente al conjunto $\{-1, 0, 1\}$, tales que $k=\sum_{i=1}^{8} a_i n_i .$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de sep. de 2010, 2:41 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABCD$ un rombo con ángulo $\angle A = 60^\circ$. Sea $E$ un punto, distinto de $D$, en la recta $AD$. Las rectas $CE$ y $AB$ se cortan en $F$. Las rectas $DF$ y $BE$ se cortan en $M$. Determine el ángulo $\angle BMD$ como una función de la posición de $E$ en $AD.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 6:38 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $K$ y $K'$ dos cuadrados en el mismo plano, con lados de igual longitud. ¿Es posible descomponer $K$ en un número finito de triángulos $T_1, T_2, \ldots, T_p$ con interiores mutuamente disjuntos y encontrar traslaciones $t_1, t_2, \ldots, t_p$ tales que \[K'=\bigcup_{i=1}^{p} t_i(T_i) \ ? \] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 13 de sep. de 2010, 5:21 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $C$ la curva determinada por la ecuación $y = x^3$ en el sistema de coordenadas rectangulares. Sea $t$ la tangente a $C$ en un punto $P$ de $C$; $t$ interseca a $C$ en otro punto $Q$. Encuentre la ecuación del conjunto $L$ de los puntos medios $M$ de $PQ$ a medida que $P$ describe $C$. ¿Es la correspondencia que asocia $P$ y $M$ una biyección de $C$ sobre $L$? Encuentre una semejanza que transforme $C$ en $L.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Quantum-Phantom 319 publicaciones Quantum-Phantom #1 h 8 de mar. de 2024, 10:21 a. m. • 4 Y Y por CRT_07, cubres, Rounak_iitr, mxsail Inicialmente, tres puntos no colineales, $A$ , $B$ y $C$ , están marcados en el plano. Usted tiene un lápiz y una regla de doble borde de ancho $1$ . Usándolos, puede realizar las siguientes operaciones: Marcar un punto arbitrario en el plano. Marcar un punto arbitrario en una línea ya dibujada. Si dos puntos $P_1$ y $P_2$ están marcados, dibujar la línea que conecta $P_1$ y $P_2$ . Si dos líneas no paralelas $l_1$ y $l_2$ están dibujadas, marcar la intersección de $l_1$ y $l_2$ . Si una línea $l$ está dibujada, dibujar una línea paralela a $l$ que esté a una distancia $1$ de $l$ (tenga en cuenta que se pueden dibujar dos líneas de este tipo). Demuestre que es posible marcar el ortocentro de $ABC$ usando estas operaciones. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Quantum-Phantom, 8 de mar. de 2024, 10:22 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Joao Pedro Santos 152 publicaciones Joao Pedro Santos #1 h 22 de julio de 2011, 10:39 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ un polinomio mónico de grado $n>2$, con coeficientes reales y todas sus raíces reales y diferentes de cero. Demuestre que para todo $k=0,1,2,\cdots,n-2$, al menos uno de los coeficientes $a_k,a_{k+1}$ es diferente de cero. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Joao Pedro Santos, 31 de agosto de 2011, 4:25 p. m. Z K Y