Olimpiada Junior de los Balcanes 2001 Problema 8
Demostrar que no hay tres puntos con coordenadas enteras que puedan ser los vértices de un triángulo equilátero.
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Olimpiada Junior de los Balcanes 2001 Problema 7
Demostrar que no hay enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^5+y^5+1=(x+2)^5+(y-3)^5$ .
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Olimpiada Junior de los Balcanes 2001 Problema 6
Encontrar todos los enteros $x$ e $y$ tales que $x^3\pm y^3 =2001p$ , donde $p$ es primo.
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Olimpiada Junior de los Balcanes 2001 Problema 5
Sea $x_k=\frac{k(k+1)}{2}$ para todos los enteros $k\ge 1$ . Demostrar que para cualquier entero $n \ge 10$ , entre los números $A=x_1+x_2 + \ldots + x_{n-1}$ y $B=A+x_n$ hay al menos un cuadrado.
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Olimpiada Junior de los Balcanes 2001 Problema 4
El discriminante de la ecuación $x^2-ax+b=0$ es el cuadrado de un número racional y $a$ y $b$ son enteros. Demostrar que las raíces de la ecuación son enteros.
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Olimpiada Junior de los Balcanes 2001 Problema 3
Encontrar todos los números de tres dígitos $\overline{abc}$ tal que el número de $6003$ dígitos $\overline{abcabc\ldots abc}$ es divisible por $91$ .
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Olimpiada Junior de los Balcanes 2001 Problema 2
Sea $P_n \ (n=3,4,5,6,7)$ el conjunto de enteros positivos $n^k+n^l+n^m$ , donde $k,l,m$ son enteros positivos. Encontrar $n$ tal que: \ni) En el conjunto $P_n$ hay infinitos cuadrados. \nii) En el conjunto $P_n$ no hay cuadrados.
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Olimpiada Junior de los Balcanes 2001 Problema 1
Encontrar los enteros positivos $n$ que no son divisibles por $3$ si el número $2^{n^2-10}+2133$ es un cubo perfecto.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1989 Problema 32
El vértice $ A$ del triángulo acutángulo $ ABC$ es equidistante del circuncentro $ O$ y el ortocentro $ H.$ Determine todos los valores posibles para la medida del ángulo $ A.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1989 Problema 31
Sean $ a_1 \geq a_2 \geq a_3 \in \mathbb{Z}^+$ dados y sea N $ (a_1, a_2, a_3)$ el número de soluciones $ (x_1, x_2, x_3)$ de la ecuación \[ \sum^3_{k=1} \frac{a_k}{x_k} = 1.\] donde $ x_1, x_2,$ y $ x_3$ son enteros positivos. Demuestre que \[ N(a_1, a_2, a_3) \leq 6 a_1 a_2 (3 + ln(2 a_1)).\]
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