Pruebe que para cada entero positivo $ n$ existen $ n$ enteros positivos consecutivos ninguno de los cuales es una potencia entera de un número primo.

155 pájaros $ P_1, \ldots, P_{155}$ están sentados en el borde de un círculo $ C.$ Dos pájaros $ P_i, P_j$ son mutuamente visibles si el ángulo en el centro $ m(\cdot)$ de sus posiciones $ m(P_iP_j) \leq 10^{\circ}.$ Encuentre el número más pequeño de pares de pájaros mutuamente visibles, es decir, el conjunto mínimo de pares $ \{x,y\}$ de pares de pájaros mutuamente visibles con $ x,y \in \{P_1, \ldots, P_{155}\}.$ Se asume que una posición (punto) en $ C$ puede ser ocupada simultáneamente por varios pájaros, por ejemplo, todos los pájaros posibles.

Considere en un plano $ P$ los puntos $ O,A_1,A_2,A_3,A_4$ tales que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq 1 \quad \forall i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j.\] donde $ \sigma(OA_iA_j)$ es el área del triángulo $ OA_iA_j.$ Pruebe que existe al menos un par $ i_0, j_0 \in \{1, 2, 3, 4\}$ tal que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq \sqrt{2}.\]

Sea $ m$ un entero positivo impar, $ m > 2.$ Encuentre el entero positivo más pequeño $ n$ tal que $ 2^{1989}$ divide a $ m^n - 1.$

Sea $ n \in \mathbb{Z}^+$ y sean $ a, b \in \mathbb{R}.$ Determine el rango de $ x_0$ para el cual \[ \sum^n_{i=0} x_i = a \text{ y } \sum^n_{i=0} x^2_i = b,\] donde $ x_0, x_1, \ldots , x_n$ son variables reales.

Sean $ a, b \in \mathbb{Z}$ que no son cuadrados perfectos. Demuestra que si \[ x^2 - ay^2 - bz^2 + abw^2 = 0\] tiene una solución no trivial en enteros, entonces también la tiene \[ x^2 - ay^2 - bz^2 = 0.\]

Para los puntos $ A_1, \ldots ,A_5$ en la esfera de radio 1, ¿cuál es el valor máximo que $ min_{1 \leq i,j \leq 5} A_iA_j$ puede tomar? Determina todas las configuraciones para las que se alcanza este máximo. (O: determina el diámetro de cualquier conjunto $ \{A_1, \ldots ,A_5\}$ para el que se alcanza este máximo.)

Una permutación $ \{x_1, x_2, \ldots, x_{2n}\}$ del conjunto $ \{1,2, \ldots, 2n\}$ donde $ n$ es un entero positivo, se dice que tiene la propiedad $ T$ si $ |x_i - x_{i + 1}| = n$ para al menos un $ i$ en $ \{1,2, \ldots, 2n - 1\}.$ Demuestra que, para cada $ n$ , hay más permutaciones con la propiedad $ T$ que sin ella.

Demuestra que en el conjunto $ \{1,2, \ldots, 1989\}$ se puede expresar como la unión disjunta de subconjuntos $ A_i, \{i = 1,2, \ldots, 117\}$ tal que i.) cada $ A_i$ contiene 17 elementos ii.) la suma de todos los elementos en cada $ A_i$ es la misma.

Demuestra que la intersección de un plano y un tetraedro regular puede ser un triángulo obtusángulo y que el ángulo obtuso en cualquier triángulo de este tipo es siempre menor que $ 120^{\circ}.$