La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Fermat -Euler 444 publicaciones Fermat -Euler #1 h 22 de oct. de 2005, 5:05 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más. Un número oscilante es un entero positivo cuyos dígitos son alternativamente cero y distintos de cero, siendo el último dígito distinto de cero (por ejemplo, 201). Encuentre todos los enteros positivos que no dividen a ningún número oscilante. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 3 de mayo de 2024, 4:10 a. m. • 2 Y Y por lian_the_noob12, mxsail Joe y Penny juegan un juego. Inicialmente hay $5000$ piedras en un montón, y los dos jugadores retiran piedras del montón realizando una sucesión de movimientos. En el movimiento $k$-ésimo, se puede retirar cualquier cantidad de piedras entre $1$ y $k$ inclusive. Joe realiza los movimientos de número impar y Penny realiza los movimientos de número par. El jugador que retira la última piedra es el ganador. ¿Quién gana si ambos jugadores juegan de manera perfecta? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. darij grinberg 6556 publicaciones darij grinberg #1 h 24 de oct. de 2004, 3:38 a. m. • 4 Y Y por mathmaths, Davi-8191, Adventure10, Mango247 Sean $ m$ y $ n$ dos enteros positivos. Sean $ a_1$ , $ a_2$ , $ \ldots$ , $ a_m$ $ m$ números distintos del conjunto $ \{1, 2,\ldots, n\}$ tales que para cualesquiera dos índices $ i$ y $ j$ con $ 1\leq i \leq j \leq m$ y $ a_i + a_j \leq n$ , existe un índice $ k$ tal que $ a_i + a_j = a_k$ . Demuestre que \[ \frac {a_1 + a_2 + ... + a_m}{m} \geq \frac {n + 1}{2}. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ene 606 publicaciones Ene #1 h 26 de dic de 2006, 4:21 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ a_{0} = 1994$ y $ a_{n + 1} = \frac {a_{n}^{2}}{a_{n} + 1}$ para cada entero no negativo $ n$ . Demuestre que $ 1994 - n$ es el mayor entero menor o igual a $ a_{n}$ , $ 0 \leq n \leq 998$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. socrates 2105 publicaciones socrates #1 h 28 de feb. de 2015, 5:40 a. m. • 3 Y Y por Davi-8191, Adventure10, Mango247 Para un entero $n \geq 5,$ dos jugadores juegan el siguiente juego en un $n$-gono regular. Inicialmente, se eligen tres vértices consecutivos y se coloca una ficha en cada uno. Un movimiento consiste en que un jugador deslice una ficha a lo largo de cualquier número de aristas hacia otro vértice del $n$-gono sin saltar sobre otra ficha. Un movimiento es legal si el área del triángulo formado por las fichas es estrictamente mayor después del movimiento que antes. Los jugadores se turnan para realizar movimientos legales, y si un jugador no puede realizar un movimiento legal, ese jugador pierde. ¿Para qué valores de $n$ tiene el jugador que realiza el primer movimiento una estrategia ganadora? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. socrates 2105 publicaciones socrates #1 h 28 de feb. de 2015, 5:51 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Una lista finita de números racionales está escrita en una pizarra. En una operación, elegimos dos números cualesquiera $a$, $b$, los borramos y escribimos uno de los números \[ a + b, \; a - b, \; b - a, \; a \times b, \; a/b \text{ (si $b \neq 0$)}, \; b/a \text{ (si $a \neq 0$)}. \] Demuestre que, para todo entero $n > 100$, existen solo una cantidad finita de enteros $k \ge 0$ tales que, partiendo de la lista \[ k + 1, \; k + 2, \; \dots, \; k + n, \] es posible obtener, después de $n - 1$ operaciones, el valor $n!$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por v_Enhance, 1 de mar. de 2015, 8:03 a. m. Razón: limpieza de LaTeX Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. galois 400 publicaciones galois #1 h 28 de ago. de 2003, 3:12 a. m. • 6 Y Y por mijail, Adventure10, Mango247, EntropiaAwake, EntropiaAwake, EntropiaAwake Sea $ S$ el conjunto de todos los números reales estrictamente mayores que −1. Encuentre todas las funciones $ f: S \to S$ que satisfacen las dos condiciones: (a) $ f(x + f(y) + xf(y)) = y + f(x) + yf(x)$ para todo $ x, y$ en $ S$ ; (b) $ \frac {f(x)}{x}$ es estrictamente creciente en cada uno de los dos intervalos $ - 1 < x < 0$ y $ 0 < x$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Marius_Avion_De_Vanatoare 97 publicaciones Marius_Avion_De_Vanatoare #1 h 9 de junio de 2024, 11:24 a. m. • 1 Y Y por mxsail En el triángulo acutángulo $ABC$ , sea $AD$ , $D \in BC$ la bisectriz del ángulo $A$ . La perpendicular a $BC$ que pasa por $D$ y la perpendicular a $AD$ que pasa por $A$ se cortan en $I$ . El círculo con centro $I$ y radio $ID$ , corta a $AB$ y $AC$ en $F$ y $E$ respectivamente. En el arco $FE$ , que no contiene a $A$ , del circuncírculo de $AFE$ , considere un punto $X$ , tal que $\frac{XF}{XE}=\frac{AF}{AE}$ . Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $AFE$ y $BXC$ son tangentes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Konigsberg 2242 publicaciones Konigsberg #1 h 1 de mar. de 2015, 6:15 a. m. • 7 Y Y por EmperorPurpleLobster, Davi-8191, tenplusten, mathematicsy, Adventure10, Mango247, Rounak_iitr Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ el punto donde el incírculo toca al lado $BC$. Sean $J_b$ y $J_c$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$, respectivamente. Demuestre que el circuncentro del triángulo $AJ_bJ_c$ se encuentra sobre la bisectriz del ángulo $\angle BAC$. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por v_Enhance, 2 de mar. de 2015, 7:51 a. m. Razón: eliminar salto de línea adicional Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1950 publicaciones Assassino9931 #1 h 27 de abril de 2025, 7:00 a. m. • 2 Y Y por PikaPika999, Mo.11ss Sea $n$ un entero. Demuestre que $n^4 - 12n^2 + 144$ no es un cubo perfecto de un entero. Z K Y