Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos y sea $ S$ un conjunto de $ n$ puntos en el plano tal que i.) no hay tres puntos de $ S$ colineales, y ii.) para cada punto $ P$ de $ S$ hay al menos $ k$ puntos de $ S$ equidistantes de $ P.$ Demuestra que: \[\nk < \frac {1}{2} + \sqrt {2 \cdot n}\n\]

Un número natural está escrito en cada cuadrado de un tablero de ajedrez de $ m \times n$. El movimiento permitido es agregar un entero $ k$ a cada uno de dos números adyacentes de tal manera que se obtengan números no negativos. (Dos cuadrados son adyacentes si tienen un lado común.) Encuentra una condición necesaria y suficiente para que sea posible que todos los números sean cero después de un número finito de operaciones.

Dado un polígono convexo $ A_1A_2 \ldots A_n$ con área $ S$ y un punto $ M$ en el mismo plano, determina el área del polígono $ M_1M_2 \ldots M_n,$ donde $ M_i$ es la imagen de $ M$ bajo la rotación $ R^{\alpha}_{A_i}$ alrededor de $ A_i$ por $ \alpha_i, i = 1, 2, \ldots, n.$

Dados siete puntos en el plano, algunos de ellos están conectados por segmentos de tal manera que: (i) entre cada tres de los puntos dados, dos están conectados por un segmento; (ii) el número de segmentos es mínimo. ¿Cuántos segmentos tiene una figura que satisface (i) y (ii)? Da un ejemplo de tal figura.

El conjunto $ \{a_0, a_1, \ldots, a_n\}$ de números reales satisface las siguientes condiciones: (i) $ a_0 = a_n = 0,$ (ii) para $ 1 \leq k \leq n - 1,$ \[\na_k = c + \sum^{n-1}_{i=k} a_{i-k} \cdot \left(a_i + a_{i+1} \right)\] Demuestra que $ c \leq \frac{1}{4n}.$

Sean $ a, b, c, d,m, n \in \mathbb{Z}^+$ tales que \[ a^2+b^2+c^2+d^2 = 1989,\] \[ a+b+c+d = m^2,\] y el mayor de $ a, b, c, d$ es $ n^2.$ Determinar, con prueba, los valores de $m$ y $ n.$

Un cuadrilátero bicéntrico es uno que puede ser inscrito y circunscrito a un círculo, es decir, existen tanto el incírculo como el circuncírculo. Demostrar que para tal cuadrilátero, los centros de los dos círculos asociados son colineales con el punto de intersección de las diagonales.

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que los lados $ AB, AD, BC$ satisfacen $ AB = AD + BC.$ Existe un punto $ P$ dentro del cuadrilátero a una distancia $ h$ de la línea $ CD$ tal que $ AP = h + AD$ y $ BP = h + BC.$ Demostrar que: \[ \frac {1}{\sqrt {h}} \geq \frac {1}{\sqrt {AD}} + \frac {1}{\sqrt {BC}} \]

Hay n coches esperando en puntos distintos de una pista de carreras circular. En la señal de salida, cada coche arranca. Cada coche puede elegir arbitrariamente cuál de las dos direcciones posibles tomar. Cada coche tiene la misma velocidad constante. Cada vez que dos coches se encuentran, ambos cambian de dirección (pero no de velocidad). Demostrar que en algún momento cada coche vuelve a su punto de partida.

Definir la secuencia $ (a_n)$ por $ \sum_{d|n} a_d = 2^n.$ Demostrar que $ n|a_n.$