Sea $ g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ , $ \omega \in \mathbb{C}$ , $ a \in \mathbb{C}$ , $ \omega^3 = 1$ , y $ \omega \ne 1$ . Demuestre que existe una y solo una función $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que \[ f(z) + f(\omega z + a) = g(z),z\in \mathbb{C} \]

$ \forall n > 0, n \in \mathbb{Z},$ existen enteros determinados unívocamente $ a_n, b_n, c_n \in \mathbb{Z}$ tales que \[ \left(1 + 4 \cdot \sqrt[3]{2} - 4 \cdot \sqrt[3]{4} \right)^n = a_n + b_n \cdot \sqrt[3]{2} + c_n \cdot \sqrt[3]{4}.\] Demuestre que $ c_n = 0$ implica $ n = 0.$

Sea $ R$ un rectángulo que es la unión de un número finito de rectángulos $ R_i,$ $ 1 \leq i \leq n,$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) Los lados de cada rectángulo $ R_i$ son paralelos a los lados de $ R.$ (ii) Los interiores de dos rectángulos diferentes cualesquiera $ R_i$ son disjuntos. (iii) Cada rectángulo $ R_i$ tiene al menos un lado de longitud entera. Demuestre que $ R$ tiene al menos un lado de longitud entera. Variante: Mismo problema pero con paralelepípedos rectangulares que tienen al menos un lado integral.

Demuestre que dos puntos cualesquiera que se encuentren dentro de un $ n-$ gono regular $ E$ pueden unirse mediante dos arcos circulares que se encuentran dentro de $ E$ y se encuentran en un ángulo de al menos $ \left(1 - \frac{2}{n} \right) \cdot \pi.$

Para un triángulo $ ABC,$ sea $ k$ su circuncírculo con radio $ r.$ Las bisectrices de los ángulos internos $ A, B,$ y $ C$ del triángulo intersecan respectivamente el círculo $ k$ nuevamente en los puntos $ A', B',$ y $ C'.$ Demuestre la desigualdad \[ 16Q^3 \geq 27 r^4 P,\] donde $ Q$ y $ P$ son las áreas de los triángulos $ A'B'C'$ y $ABC$ respectivamente.

Demostrar que para cada entero positivo $ n$ existen $ n$ enteros positivos consecutivos ninguno de los cuales es una potencia entera de un número primo.

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que los lados $ AB, AD, BC$ satisfacen $ AB = AD + BC.$ Existe un punto $ P$ dentro del cuadrilátero a una distancia $ h$ de la línea $ CD$ tal que $ AP = h + AD$ y $ BP = h + BC.$ Demostrar que: \[ \frac {1}{\sqrt {h}} \geq \frac {1}{\sqrt {AD}} + \frac {1}{\sqrt {BC}} \]

Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos y sea $ S$ un conjunto de $ n$ puntos en el plano tal que i.) no hay tres puntos de $ S$ que sean colineales, y ii.) para cada punto $ P$ de $ S$ hay al menos $ k$ puntos de $ S$ equidistantes de $ P.$ Demostrar que: \[ k < \frac {1}{2} + \sqrt {2 \cdot n} \]

$ ABC$ es un triángulo, la bisectriz del ángulo $ A$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC$ en $ A_1$ , los puntos $ B_1$ y $ C_1$ se definen de manera similar. Sea $ AA_1$ la recta que biseca los dos ángulos externos en $ B$ y $ C$ en $ A_0$ . Definir $ B_0$ y $ C_0$ de manera similar. Demostrar que el área del triángulo $ A_0B_0C_0 = 2 \cdot$ área del hexágono $ AC_1BA_1CB_1 \geq 4 \cdot$ área del triángulo $ ABC$.

Demostrar que en el conjunto $ \{1,2, \ldots, 1989\}$ se puede expresar como la unión disjunta de subconjuntos $ A_i, \{i = 1,2, \ldots, 117\}$ tal que i.) cada $ A_i$ contiene 17 elementos ii.) la suma de todos los elementos en cada $ A_i$ es la misma.