Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ . Además, sea $D\in[BC]$ un punto tal que $BC>BD>DC>0$ , y sean $\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $ADC$ respectivamente. Sean $BB'$ y $CC'$ diámetros en los dos círculos, y sea $M$ el punto medio de $B'C'$ . Demuestre que el área del triángulo $MBC$ es constante (es decir, no depende de la elección del punto $D$ ).

Sea $S$ un cuadrado con lado de longitud 20 y sea $M$ el conjunto de puntos formado con los vértices de $S$ y otros 1999 puntos que se encuentran dentro de $S$ . Demuestre que existe un triángulo con vértices en $M$ y con área como máximo igual a $\frac 1{10}$ .

Para cada entero no negativo $n$ definimos $A_n = 2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$ . Encuentre el máximo común divisor de los números $A_0,A_1,\ldots, A_{1999}$ .

Sean $ a,b,c,x,y$ cinco números reales tales que $ a^3 + ax + y = 0$ , $ b^3 + bx + y = 0$ y $ c^3 + cx + y = 0$ . Si $ a,b,c$ son números distintos, demuestre que su suma es cero.

Considera un 2n-gono regular $P$, $A_1,A_2,\cdots ,A_{2n}$ en el plano, donde $n$ es un entero positivo. Decimos que un punto $S$ en uno de los lados de $P$ puede ser visto desde un punto $E$ que es externo a $P$, si el segmento de línea $SE$ no contiene otros puntos que se encuentren en los lados de $P$ excepto $S$. Coloreamos los lados de $P$ en 3 colores diferentes (ignoramos los vértices de $P$, los consideramos incoloros), de modo que cada lado se colorea en exactamente un color, y cada color se usa al menos una vez. Además, desde cada punto en el plano externo a $P$, se pueden ver puntos de como máximo 2 colores diferentes en $P$. Encuentra el número de coloraciones distintas de $P$ (dos coloraciones se consideran distintas si al menos uno de los lados está coloreado de manera diferente).

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB\neq AC$, con circuncírculo $ \Gamma$ y circuncentro $O$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ un punto en $ \Gamma$ tal que $AD \perp BC$. Sea $T$ un punto tal que $BDCT$ es un paralelogramo y $Q$ un punto en el mismo lado de $BC$ que $A$ tal que $\angle{BQM}=\angle{BCA}$ y $\angle{CQM}=\angle{CBA}$. Sea la línea $AO$ que intersecta a $ \Gamma$ en $E$ $(E\neq A)$ y sea la circunferencia circunscrita del $\triangle ETQ$ que intersecta a $ \Gamma$ en el punto $X\neq E$. Demostrar que los puntos $A,M$ y $X$ son colineales.

Sean $x,y,z$ enteros positivos tales que $x\neq y\neq z \neq x$. Demostrar que $$(x+y+z)(xy+yz+zx-2)\geq 9xyz.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Determinar todos los conjuntos de seis enteros positivos consecutivos tales que el producto de dos de ellos, sumado al producto de otros dos de ellos, sea igual al producto de los dos números restantes.

Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros no negativos y un entero positivo $a.$ La secuencia $\{a_{n}\}$ se define por $a_{1}=a,$ $a_{n+1}=f(a_{n}).$ Se sabe que el conjunto de primos que dividen al menos uno de los términos de esta secuencia es finito. Demuestra que $f(x)=cx^{k}$ para algunos enteros no negativos $c$ y $k.$

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ tenemos $AB\cdot CD=BC\cdot DA$ y $2\angle A+\angle C=180^\circ$ . El punto $P$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ y es el punto medio del arco $BD$ que no contiene a $A$ . Se sabe que el punto $P$ se encuentra dentro del cuadrilátero $ABCD$ . Demuestra que $\angle BCA=\angle DCP$