¿Qué número es mayor: el número de enteros positivos que no exceden de 1000000 que pueden ser representados por la forma $2x^{2}-3y^{2}$ con $x$ e $y$ enteros o el de enteros positivos que no exceden de 1000000 que pueden ser representados por la forma $10xy-x^{2}-y^{2}$ con $x$ e $y$ enteros?

Demuestra que para todo $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ en el intervalo $(0,\pi/2)$ \[\left({1\over \sin \alpha_{1}}+{1\over \sin \alpha_{2}}+\ldots+{1\over \sin \alpha_{n}}\right) \left({1\over \cos \alpha_{1}}+{1\over \cos \alpha_{2}}+\ldots+{1\over \cos \alpha_{n}}\right) \leq\] \[\leq 2 \left({1\over \sin 2\alpha_{1}}+{1\over \sin 2\alpha_{2}}+\ldots+{1\over \sin 2\alpha_{n}}\right)^{2}.\]

Encuentra todas las funciones continuas $f(x)$ definidas para todo $x>0$ tales que para todo $x$ , $y > 0$ \[ f\left(x+{1\over x}\right)+f\left(y+{1\over y}\right)= f\left(x+{1\over y}\right)+f\left(y+{1\over x}\right) . \]

El alfabeto $A$ contiene $n$ letras. $S$ es un conjunto de palabras de longitud finita compuestas por letras de $A$ . Se sabe que toda secuencia infinita de letras de $A$ comienza con una y sólo una palabra de $S$ . Demuestra que el conjunto $S$ es finito.

En un cuadrilátero $ABCD$ los lados $AB$ y $CD$ son iguales, $\angle A=150^\circ,$ $\angle B=44^\circ,$ $\angle C=72^\circ.$ La bisectriz perpendicular del segmento $AD$ se encuentra con el lado $BC$ en el punto $P.$ Encuentra $\angle APD.$

Un rectángulo de $2003\times 2004$ consta de cuadrados unitarios. Consideramos rombos formados por cuatro diagonales de cuadrados unitarios. ¿Cuál es el número máximo de tales rombos que se pueden organizar en este rectángulo de modo que no haya dos de ellos que tengan puntos en común excepto los vértices?

Si $a, b, c$ son números reales no negativos con $ a^2 + b^2 + c^2 = 1$ , demuestra que: \[ \frac {a}{b^2 + 1} + \frac {b}{c^2 + 1} + \frac {c}{a^2 + 1} \geq \frac {3}{4}(a\sqrt {a} + b\sqrt {b} + c\sqrt {c})^2\]

En un triángulo acutángulo $ABC$ , $M$ y $N$ son puntos en los lados $AC$ y $BC$ respectivamente, y $K$ es el punto medio de $MN$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACN$ y $BCM$ se encuentran de nuevo en un punto $D$ . Demuestra que la línea $CD$ contiene el circuncentro $O$ de $\triangle ABC$ si y sólo si $K$ está en la mediatriz de $AB.$

Suponga que $x, y, a$ son números reales tales que $x+y = x^3 +y^3 = x^5 +y^5 = a$ . Encuentra todos los valores posibles de $a.$

Encuentra todos los números naturales $x,y$ tales que $y| (x^{2}+1)$ y $x^{2}| (y^{3}+1)$ .