Sea $D$ el interior del círculo $C$ y sea $A \in C$. Muestre que la función $f : D \to \mathbb R, f(M)=\frac{|MA|}{|MM'|}$ donde $M' = AM \cap C$, es estrictamente convexa; i.e., $f(P) <\frac{f(M_1)+f(M_2)}{2}, \forall M_1,M_2 \in D, M_1 \neq M_2$ donde $P$ es el punto medio del segmento $M_1M_2.$

Cada uno de los números en el conjunto $N = \{1, 2, 3, \cdots, n - 1\}$, donde $n \geq 3$, se colorea con uno de dos colores, digamos rojo o negro, de modo que: (i) $i$ y $n - i$ siempre reciben el mismo color, y (ii) para algún $j \in N$, relativamente primo con $n$, $i$ y $|j - i|$ reciben el mismo color para todo $i \in N, i \neq j.$ Demuestre que todos los números en $N$ deben recibir el mismo color.

Para cualquier polinomio $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k$ con coeficientes enteros, el número de coeficientes impares se denota por $o(P)$. Para $i-0,1,2,\ldots$ sea $Q_i(x)=(1+x)^i$. Demuestre que si $i_1,i_2,\ldots,i_n$ son enteros que satisfacen $0\le i_1<i_2<\ldots<i_n$, entonces: \[ o(Q_{i_{1}}+Q_{i_{2}}+\ldots+Q_{i_{n}})\ge o(Q_{i_{1}}). \]

Un poliedro tiene $12$ caras y es tal que: (i) todas las caras son triángulos isósceles, (ii) todas las aristas tienen longitud $x$ o $y$, (iii) en cada vértice se encuentran $3$ o $6$ aristas, y (iv) todos los ángulos diedros son iguales. Encuentre la razón $x/y.$

Dado un conjunto $M$ de $1985$ enteros positivos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que $26$, demuestre que el conjunto tiene cuatro elementos distintos cuya media geométrica es un entero.

En una conferencia hay $n$ matemáticos. Cada uno de ellos conoce exactamente a $k$ compañeros matemáticos. Encontrar el valor más pequeño de $k$ tal que haya al menos tres matemáticos que se conozcan entre sí.

Considerar el triángulo $ABC$ con $\angle A= 90^{\circ}$ y $\angle B \not= \angle C$ . Un círculo $\mathcal{C}(O,R)$ pasa por $B$ y $C$ e interseca los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Sea $S$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$ y sea $K$ el punto de intersección de $AS$ con el segmento $DE$ . Si $M$ es el punto medio de $BC$ , demostrar que $AKOM$ es un paralelogramo.

Considerar un triángulo $ABC$ con $AB=AC$ , y $D$ el pie de la altura desde el vértice $A$ . El punto $E$ se encuentra en el lado $AB$ tal que $\angle ACE= \angle ECB=18^{\circ}$ . Si $AD=3$ , encontrar la longitud del segmento $CE$ .

Un triángulo $ABC$ está inscrito en el círculo $\mathcal{C}(O,R)$ . Sea $\alpha <1$ la razón de los radios de los círculos tangentes a $\mathcal{C}$ , y ambos rayos $(AB$ y $(AC$ . Los números $\beta <1$ y $\gamma <1$ se definen análogamente. Demostrar que $\alpha + \beta + \gamma =1$ .

Considerar un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $AB=CD$ y $\angle BAC=30^{\circ}$ . Si $\angle ADC=150^{\circ}$ , demostrar que $\angle BCA= \angle ACD$ .