Sean $K$ y $K'$ dos cuadrados en el mismo plano, sus lados de igual longitud. ¿Es posible descomponer $K$ en un número finito de triángulos $T_1, T_2, \ldots, T_p$ con interiores mutuamente disjuntos y encontrar traslaciones $t_1, t_2, \ldots, t_p$ tales que \[K'=\bigcup_{i=1}^{p} t_i(T_i) \ ?\]

Un conjunto de $1985$ puntos está distribuido alrededor de la circunferencia de un círculo y cada uno de los puntos está marcado con $1$ o $-1$ . Un punto se llama 'bueno' si las sumas parciales que se pueden formar comenzando en ese punto y avanzando alrededor del círculo a cualquier distancia en cualquier dirección son todas estrictamente positivas. Demuestra que si el número de puntos marcados con $-1$ es menor que $662$ , debe haber al menos un punto bueno.

Sean $m$ cajas dadas, con algunas bolas en cada caja. Sea $n < m$ un entero dado. Se realiza la siguiente operación: se eligen $n$ de las cajas y se coloca $1$ bola en cada una de ellas. Demuestra:\n(a) Si $m$ y $n$ son relativamente primos, entonces es posible, realizando la operación un número finito de veces, llegar a la situación en que todas las cajas contengan el mismo número de bolas.\n(b) Si $m$ y $n$ no son relativamente primos, existen distribuciones iniciales de bolas en las cajas tales que no es posible lograr una distribución igual.

Una secuencia de polinomios $P_m(x, y, z), m = 0, 1, 2, \cdots$ , en $x, y$ , y $z$ se define por $P_0(x, y, z) = 1$ y por \[P_m(x, y, z) = (x + z)(y + z)P_{m-1}(x, y, z + 1) - z^2P_{m-1}(x, y, z)\] para $m > 0$ . Demuestra que cada $P_m(x, y, z)$ es simétrico, en otras palabras, no se altera por ninguna permutación de $x, y, z.$

Encuentra un método mediante el cual se puedan calcular los coeficientes de $P(x) = x^6 + a_1x^5 + \cdots+ a_6$ a partir de las raíces de $P(x) = 0$ realizando no más de $15$ sumas y $15$ multiplicaciones.

Demuestra que para cada punto $M$ en la superficie de un tetraedro regular existe un punto $M'$ tal que hay al menos tres curvas diferentes en la superficie que unen $M$ a $M'$ con la longitud más pequeña posible entre todas las curvas en la superficie que unen $M$ a $M'$ .

Determina el radio de una esfera $S$ que pasa a través de los centroides de cada cara de un tetraedro dado $T$ inscrito en una esfera unitaria con centro $O$ . También, determina la distancia desde $O$ hasta el centro de $S$ como una función de los lados de $T.$

Sea $A$ un conjunto de $n$ puntos en el espacio. De la familia de todos los segmentos con extremos en $A$ , $q$ segmentos han sido seleccionados y coloreados de amarillo. Suponga que todos los segmentos amarillos son de diferente longitud. Demuestra que existe una línea poligonal compuesta de $m$ segmentos amarillos, donde $m \geq \frac{2q}{n}$ , dispuestos en orden de longitud creciente.

Los enteros positivos $x_1, \cdots , x_n$ , $n \geq 3$ , satisfacen $x_1 < x_2 <\cdots< x_n < 2x_1$ . Sea $P = x_1x_2 \cdots x_n.$ Demuestra que si $p$ es un número primo, $k$ un entero positivo, y $P$ es divisible por $p^k$ , entonces $\frac{P}{p^k} \geq n!.$

Sea $x_n = \sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}}.$ Demuestra que \[x_{n+1}-x_n <\frac{1}{n!} \quad n=2,3,\cdots\]