Un terreno ( $ABCD$ ) tiene forma de trapecio rectangular. El ángulo en $A$ mide $90^o$ . $AB$ mide $30$ m, $AD$ mide $20$ m y $DC$ mide 45 m. Este terreno debe dividirse en dos áreas de la misma área, trazando una paralela al lado $AD$ . ¿A qué distancia de $D$ tenemos que trazar la paralela?

Una tortuga camina $60$ metros por hora y una lagartija camina a $240$ metros por hora. Hay un rectángulo $ABCD$ donde $AB =60$ y $AD =120$ . Ambos parten del vértice $A$ y en la misma dirección ( $A \to B \to D \to A$ ) , recorriendo el borde del rectángulo. La lagartija tiene la costumbre de avanzar dos lados consecutivos del rectángulo, girar para retroceder uno, girar para avanzar dos, girar para retroceder uno y así sucesivamente. ¿Cuántas veces y en qué lugares se encuentran la tortuga y la lagartija cuando la tortuga completa su tercera vuelta?

Tenemos cuatro triángulos equiláteros blancos de $3$ cm de lado y los unimos por sus lados para obtener una pirámide de base triangular. En cada arista de la pirámide marcamos dos puntos rojos que la dividen en tres partes iguales. Numerar los puntos rojos, de modo que al recorrerlos en el orden en que fueron numerados, resulte un camino con el perímetro más pequeño posible. ¿Cuánto mide ese camino?

Un círculo con centro $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ del triángulo $ABC$ e intersecta los segmentos $AB$ y $BC$ nuevamente en puntos distintos $K$ y $N$ respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $KBN$ (aparte de $B$). Demuestra que $\angle OMB=90^{\circ}$.

Las tangentes en $B$ y $C$ a la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ se encuentran en $X$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Demuestra que (a) $\angle BAM = \angle CAX$, y (b) $\frac{AM}{AX} = \cos\angle BAC.$

Un círculo cuyo centro está en el lado $ED$ del cuadrilátero cíclico $BCDE$ toca los otros tres lados. Demuestra que $EB+CD = ED.$

¿Para cuáles enteros $n \geq 3$ existe un $n$-gono regular en el plano tal que todos sus vértices tienen coordenadas enteras en un sistema de coordenadas rectangulares?

Sean $x_1, x_2, \cdots , x_n$ números positivos. Demuestra que \[\frac{x_1^2}{x_1^2+x_2x_3} + \frac{x_2^2}{x_2^2+x_3x_4} + \cdots +\frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}^2+x_nx_1} +\frac{x_n^2}{x_n^2+x_1x_2} \leq n-1\]

La secuencia $f_1, f_2, \cdots, f_n, \cdots $ de funciones se define para $x > 0$ recursivamente por \[f_1(x)=x , \quad f_{n+1}(x) = f_n(x) \left(f_n(x) + \frac 1n \right)\] Demuestra que existe uno y solo un número positivo $a$ tal que $0 < f_n(a) < f_{n+1}(a) < 1$ para todos los enteros $n \geq 1.$

Si es posible, construir un triángulo equilátero cuyos tres vértices estén en tres círculos dados.