La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 6:55 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un poliedro tiene $12$ caras y es tal que: (i) todas las caras son triángulos isósceles, (ii) todas las aristas tienen longitud $x$ o $y$, (iii) en cada vértice concurren $3$ o $6$ aristas, y (iv) todos los ángulos diedros son iguales. Encuentre la razón $x/y.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 2:26 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $m$ cajas dadas, con algunas bolas en cada caja. Sea $n < m$ un entero dado. Se realiza la siguiente operación: elija $n$ de las cajas y coloque $1$ bola en cada una de ellas. Demuestre que: (a) Si $m$ y $n$ son primos entre sí, entonces es posible, realizando la operación un número finito de veces, llegar a la situación en la que todas las cajas contienen un número igual de bolas. (b) Si $m$ y $n$ no son primos entre sí, existen distribuciones iniciales de bolas en las cajas tales que no es posible lograr una distribución igualitaria. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 10 de sep. de 2010, 5:35 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $k$ un entero positivo. Defina $u_0 = 0, u_1 = 1$ , y $u_n=ku_{n-1}-u_{n-2} , n \geq 2.$ Demuestre que para cada entero $n$ , el número $u_1^3 + u_2^3 +\cdots+ u_n^3 $ es un múltiplo de $u_1 + u_2 +\cdots+ u_n.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de sep. de 2010, 5:29 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre todas las ternas de enteros positivos $x, y, z$ que satisfacen \[\frac{1}{x} +\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{5} .\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Cuubic 71 publicaciones Cuubic #1 h 7 de agosto de 2019, 3:15 PM • 3 Y Y por BabaAuRhum, Adventure10, Mango247 Al principio, el número 1 está escrito en la pizarra 9999 veces. Se nos permite realizar las siguientes acciones: Borrar cuatro números de la forma $x,x,y,y$ y, en su lugar, escribir los dos números $x+y,x-y$. (El orden o la ubicación de los números borrados no importa). Borrar el número 0 de la pizarra, si está presente. ¿Es posible llegar a un estado donde: Solo quede un número en la pizarra? ¿Queden como máximo tres números en la pizarra? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 19 de nov. de 2005, 6:42 a. m. • 8 Y Y por pifinity, Davi-8191, Adventure10, RedFlame2112, Mango247, Rounak_iitr, AlexCenteno2007 y otro usuario más. Sea $\mathbb{N} = \{1,2,3, \ldots\}$. Determine si existe una función estrictamente creciente $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ con las siguientes propiedades: (i) $f(1) = 2$; (ii) $f(f(n)) = f(n) + n, (n \in \mathbb{N})$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 28 de ago. de 2010, 1:16 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 ¿Para qué enteros $n \geq 3$ existe un $n$-ágono regular en el plano tal que todos sus vértices tengan coordenadas enteras en un sistema de coordenadas rectangulares? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de sep. de 2010, 5:27 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ tres segmentos iguales sobre los tres lados de un triángulo equilátero. Demuestre que en el triángulo formado por las rectas $B_2C_1, C_2A_1, A_2B_1$, los segmentos $B_2C_1, C_2A_1, A_2B_1$ son proporcionales a los lados en los que están contenidos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 19 de nov. de 2005, 6:15 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $n > 1$ un entero. En una disposición circular de $n$ lámparas $L_0, \ldots, L_{n-1},$ cada una de las cuales puede estar ENCENDIDA o APAGADA, comenzamos con la situación en la que todas las lámparas están ENCENDIDAS, y luego llevamos a cabo una sucesión de pasos, $Step_0, Step_1, \ldots .$ Si $L_{j-1}$ ($j$ se toma mod $n$) está ENCENDIDA, entonces $Step_j$ cambia el estado de $L_j$ (pasa de ENCENDIDA a APAGADA o de APAGADA a ENCENDIDA) pero no cambia el estado de ninguna de las otras lámparas. Si $L_{j-1}$ está APAGADA, entonces $Step_j$ no cambia nada en absoluto. Demuestre que: (i) Existe un entero positivo $M(n)$ tal que después de $M(n)$ pasos todas las lámparas están ENCENDIDAS de nuevo, (ii) Si $n$ tiene la forma $2^k$, entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2-1$ pasos, (iii) Si $n$ tiene la forma $2^k + 1$, entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2 - n + 1$ pasos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 19 de nov. de 2005, 5:59 a. m. • 7 Y Y por Davi-8191, Inconsistent, Adventure10, Rounak_iitr, Amir Hossein, Exponent11 y 1 usuario más. Sea $n > 1$ un entero y sea $f(x) = x^n + 5 \cdot x^{n-1} + 3.$ Demuestre que no existen polinomios $g(x),h(x),$ cada uno con coeficientes enteros y grado al menos uno, tales que $f(x) = g(x) \cdot h(x).$ Z K Y