En un cuadrado $ABCD$ de diagonales $AC$ y $BD$ , llamamos $O$ al centro del cuadrado. Se construye un cuadrado $PQRS$ con lados paralelos a los de $ABCD$ con $P$ en el segmento $AO, Q$ en el segmento $BO, R$ en el segmento $CO, S$ en el segmento $DO$ . Si el área de $ABCD$ es igual a dos veces el área de $PQRS$ , y $M$ es el punto medio del lado $AB$ , calcular la medida del ángulo $\angle AMP$ .

Dentro de un cuadrado de $11\times 11$ , Pablo dibujó un rectángulo y extendiendo sus lados dividió el cuadrado en $5$ rectángulos, como se muestra en la figura. Sofía hizo lo mismo, pero también logró que las longitudes de los lados de los $5$ rectángulos fueran números enteros entre $1$ y $10$ , todos diferentes. Muestra una figura como la que hizo Sofía.

El triángulo $ABC$ es recto en $A$ y $R$ es el punto medio de la hipotenusa $BC$ . Sobre el cateto mayor $AB$ se marca el punto $P$ tal que $CP = BP$ y sobre el segmento $BP$ se marca el punto $Q$ tal que el triángulo $PQR$ es equilátero. Si el área del triángulo $ABC$ es $27$ , calcular el área del triángulo $PQR$.

Una hoja rectangular de papel (blanca por un lado y gris por el otro) se dobló tres veces, como se muestra en la figura: El rectángulo $1$ , que era blanco después del primer pliegue, tiene $20$ cm más de perímetro que el rectángulo $2$ , que era blanco después del segundo pliegue, y este a su vez tiene $16$ cm más de perímetro que el rectángulo $3$ , que era blanco después del tercer pliegue. Determinar el área de la hoja.

Tomemos un rectángulo de papel $ABCD$ ; el lado $AB$ mide $5$ cm y el lado $BC$ mide $9$ cm. Hacemos tres pliegues: 1. Tomamos el lado $AB$ sobre el lado $BC$ y llamamos $P$ al punto en el lado $BC$ que coincide con $A$ . Entonces se forma un trapecio rectángulo $BCDQ$ . 2. Doblamos para que $B$ y $Q$ coincidan. Se forma un polígono de $5$ lados $RPCDQ$ . 3. Doblamos nuevamente haciendo coincidir $D$ con $C$ y $Q$ con $P$ . Un nuevo trapecio rectángulo $RPCS$ . Después de hacer estos pliegues, hacemos un corte perpendicular a $SC$ por su punto medio $T$ , obteniendo el trapecio rectángulo $RUTS$ . Calcular el área de la figura que aparece al desplegar el último trapecio $RUTS$ .

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$ , cuyo cateto mide $1$ cm. La bisectriz del ángulo $BAC$ corta la hipotenusa en $R$ , la perpendicular a $AR$ en $R$ , corta el lado $AB$ en su punto medio. Encontrar la medida del lado $AB$ .

Diez cartulinas cuadradas de $3$ centímetros de lado se cortan por una línea, como se indica en la figura. Después de los cortes, hay $20$ piezas: $10$ triángulos y $10$ trapezoides. Ensamblar un cuadrado que use las $20$ piezas sin superposiciones ni huecos.

En un paralelogramo $ABCD$ , $BD$ es la diagonal más larga. Al hacer coincidir $B$ con $D$ mediante un doblez, se forma un pentágono regular. Calcular las medidas de los ángulos formados por la diagonal $BD$ con cada uno de los lados del paralelogramo.

$ABCD$ es un cuadrado de centro $O$ . Sobre los lados $DC$ y $AD$ se han construido los triángulos equiláteros DAF y DCE. Decidir si el área del triángulo $EDF$ es mayor, menor o igual al área del triángulo $DOC$.

En el rectángulo $ABCD, M, N, P$ y $Q$ son los puntos medios de los lados. Si el área del triángulo sombreado es $1$ , calcular el área del rectángulo $ABCD$ .