Sea $n$ un entero mayor que $1$. Definimos \[x_1 = n, y_1 = 1, x_{i+1} =\left[ \frac{x_i+y_i}{2}\right] , y_{i+1} = \left[ \frac{n}{x_{i+1}}\right], \qquad \text{para }i = 1, 2, \ldots\ ,\] donde $[z]$ denota el mayor entero menor o igual a $z$. Demuestre que \[ \min \{x_1, x_2, \ldots, x_n \} =[ \sqrt n ]\]

Sea $n$ un número dado mayor que 2. Consideramos el conjunto $V_n$ de todos los enteros de la forma $1 + kn$ con $k = 1, 2, \ldots$ Un número $m$ de $V_n$ se llama indescomponible en $V_n$ si no hay dos números $p$ y $q$ de $V_n$ de modo que $m = pq.$ Demostrar que existe un número $r \in V_n$ que puede expresarse como el producto de elementos indescomponibles en $V_n$ de más de una forma. (Las expresiones que difieren sólo en el orden de los elementos de $V_n$ se considerarán iguales.)

¿Para qué enteros positivos $n$ existen dos polinomios $f$ y $g$ con coeficientes enteros de $n$ variables $x_1, x_2, \ldots , x_n$ tales que se satisface la siguiente igualdad:\n\[\sum_{i=1}^n x_i f(x_1, x_2, \ldots , x_n) = g(x_1^2, x_2^2, \ldots , x_n^2) \ ?\]

Sea $S$ un cuadrilátero convexo $ABCD$ y $O$ un punto dentro de él. Los pies de las perpendiculares desde $O$ a $AB, BC, CD, DA$ son $A_1, B_1, C_1, D_1$ respectivamente. Los pies de las perpendiculares desde $O$ a los lados de $S_i$, el cuadrilátero $A_iB_iC_iD_i$, son $A_{i+1}B_{i+1}C_{i+1}D_{i+1}$, donde $i = 1, 2, 3.$ Demostrar que $S_4$ es similar a $S$.

Sean $a,b,A,B$ números reales dados. Consideramos la función definida por \n\[ f(x) = 1 - a \cdot \cos(x) - b \cdot \sin(x) - A \cdot \cos(2x) - B \cdot \sin(2x). \]\nDemostrar que si para cualquier número real $x$ tenemos $f(x) \geq 0$ entonces $a^2 + b^2 \leq 2$ y $A^2 + B^2 \leq 1.$

Sea $n$ un entero positivo. ¿Cuántas soluciones enteras $(i, j, k, l), 1 \leq i, j, k, l \leq n$, tiene el siguiente sistema de desigualdades?: \n\[1 \leq -j + k + l \leq n\] \n\[1 \leq i - k + l \leq n\] \n\[1 \leq i - j + l \leq n\] \n\[1 \leq i + j - k \leq n \ ?\]

Hay $2^n$ palabras de longitud $n$ sobre el alfabeto $\{0, 1\}$ . Demuestra que el siguiente algoritmo genera la secuencia $w_0, w_1, \ldots, w_{2^n-1}$ de todas estas palabras de tal manera que dos palabras consecutivas difieren en exactamente un dígito. (1) $w_0 = 00 \ldots 0$ ( $n$ ceros). (2) Supón que $w_{m-1} = a_1a_2 \ldots a_n,\quad a_i \in \{0, 1\}$ . Sea $e(m)$ el exponente de $2$ en la representación de $n$ como un producto de primos, y sea $j = 1 + e(m)$ . Reemplaza el dígito $a_j$ en la palabra $w_{m-1}$ por $1 - a_j$ . La palabra obtenida es $w_m$ .

Describe todas las figuras cerradas acotadas $\Phi$ en el plano, dos puntos cualesquiera de las cuales son conectables por un semicírculo que se encuentra en $\Phi$ .

Sean $a,b$ dos números naturales. Cuando dividimos $a^2+b^2$ por $a+b$ , obtenemos el residuo $r$ y el cociente $q.$ Determina todos los pares $(a, b)$ para los cuales $q^2 + r = 1977.$

Un punto reticular en el plano es un punto cuyas coordenadas son enteras. Cada punto reticular tiene cuatro puntos vecinos: superior, inferior, izquierdo y derecho. Sea $k$ un círculo con radio $r \geq 2$ , que no pasa por ningún punto reticular. Un punto frontera interior es un punto reticular que se encuentra dentro del círculo $k$ que tiene un punto vecino que se encuentra fuera de $k$ . De manera similar, un punto frontera exterior es un punto reticular que se encuentra fuera del círculo $k$ que tiene un punto vecino que se encuentra dentro de $k$ . Demuestra que hay cuatro puntos frontera exteriores más que puntos frontera interiores.