Sea $n$ un entero positivo, y sea $\mathcal{C}$ una colección de subconjuntos de $\{1,2,\ldots,2^n\}$ que satisface ambas de las siguientes condiciones:\nCada subconjunto de $(2^n-1)$ elementos de $\{1,2,\ldots,2^n\}$ es un miembro de $\mathcal{C}$, y\nCada miembro no vacío $C$ de $\mathcal{C}$ contiene un elemento $c$ tal que $C\setminus\{c\}$ es también un miembro de $\mathcal{C}$.\nDetermine el tamaño más pequeño que $\mathcal{C}$ puede tener.

Bethan está jugando un juego en una cuadrícula de $n\times n$ que consta de $n^2$ celdas. Un movimiento consiste en colocar un contador en una celda no ocupada $C$ donde las otras $2n-2$ celdas en la misma fila o columna que $C$ contienen un número par de contadores. Después de realizar $M$ movimientos, Bethan se da cuenta de que no puede realizar más movimientos. Determine el valor mínimo de $M$ .

Sea $n>1$ un entero positivo y $\mathcal S$ sea el conjunto de las $n^{\text{th}}$ raíces de la unidad. Suponga que $P$ es un polinomio de $n$ variables con coeficientes complejos tal que para todo $a_1,\ldots,a_n\in\mathcal S$ , $P(a_1,\ldots,a_n)=0$ si y sólo si $a_1,\ldots,a_n$ son todos diferentes. ¿Cuál es el grado mínimo posible de $P$ ?

Demuestre que para todos los enteros positivos suficientemente grandes $d{}$ , al menos el $99\%$ de los polinomios de la forma \[\sum_{i\leqslant d}\sum_{j\leqslant d}\pm x^iy^j\] son irreducibles sobre los enteros.

Sea $E$ un conjunto de $n$ puntos en el plano ($n \geq 3$) cuyas coordenadas son números enteros tales que tres puntos cualesquiera de $E$ son vértices de un triángulo no degenerado cuyo centroide no tiene ambas coordenadas enteras. Determine el $n$ máximo.

Sean $x_1,x_2,\ldots$ la sucesión dada y sea $s_n=x_1+x_2+\ldots+x_n$ . Las condiciones de la hipótesis pueden escribirse ahora como $s_{n+7}<s_n$ y $s_{n+11}>s_n$ para todo $n\ge 1$ . Entonces tenemos: $0<s_{11}<s_4<s_{15}<s_8<s_1<s_{12}<s_5<s_{16}<s_9<s_2<s_{13}<s_6<s_{17}<s_{10}<s_3<s_{14}<s_7<0,$ una contradicción. Por lo tanto, la secuencia no puede tener $17$ términos. Para demostrar que $16$ es la respuesta, basta con tomar 16 números reales que satisfagan $s_{10}<s_3<s_{14}<s_7<0<s_{11}<s_4<s_{15}<s_8<s_1<s_{12}<s_5<s_{16}<s_9<s_2<s_{13}<s_6$ . Tenemos $x_1=s_1$ y $x_n=s_n-s_{n-1}$ para $n\ge 2$ . Así encontramos todas las secuencias con las propiedades dadas.

En una secuencia finita de números reales, la suma de cualesquiera siete términos sucesivos es negativa y la suma de cualesquiera once términos sucesivos es positiva. Determine el número máximo de términos en la secuencia.

Sea $E$ un conjunto finito de puntos tal que $E$ no está contenido en un plano y no hay tres puntos de $E$ que sean colineales. Demuestre que al menos una de las siguientes alternativas se cumple: (i) $E$ contiene cinco puntos que son vértices de una pirámide convexa que no tiene otros puntos en común con $E$; (ii) algún plano contiene exactamente tres puntos de $E$.

Sea $B$ un conjunto de $k$ secuencias cada una con $n$ términos iguales a $1$ o $-1$. El producto de dos de tales secuencias $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ y $(b_1, b_2, \ldots , b_n)$ se define como $(a_1b_1, a_2b_2, \ldots , a_nb_n)$ . Demuestre que existe una secuencia $(c_1, c_2, \ldots , c_n)$ tal que la intersección de $B$ y el conjunto que contiene todas las secuencias de $B$ multiplicadas por $(c_1, c_2, \ldots , c_n)$ contiene a lo sumo $\frac{k^2}{2^n}$ secuencias.

En el interior de un cuadrado $ABCD$ construimos los triángulos equiláteros $ABK, BCL, CDM, DAN$. Demuestre que los puntos medios de los cuatro segmentos $KL, LM, MN, NK$ y los puntos medios de los ocho segmentos $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ son los 12 vértices de un dodecágono regular.